$int_(-pi/4)^(pi/4)xarctanxdx$
allora ho questo integrale da fare $int_(-pi/4)^(pi/4)xarctanxdx$....finche lo faccio come indefinito va bene, il risultato giusto è
$(1/2x^2)arctanx-1/2x+1/2arctanx+c$
poi sostituendo non mi viene...allora io so che $arctan(pi/4)=1$, $arctan(-pi/4)=-1$
e mi viene $pi^2/16-pi/4+1$però mi sa che è sbagliato...bo mi sembra di sostituire giusto ma non viene niente...
$(1/2x^2)arctanx-1/2x+1/2arctanx+c$
poi sostituendo non mi viene...allora io so che $arctan(pi/4)=1$, $arctan(-pi/4)=-1$
e mi viene $pi^2/16-pi/4+1$però mi sa che è sbagliato...bo mi sembra di sostituire giusto ma non viene niente...
Risposte
"ramarro":
..allora io so che $arctan(pi/4)=1$, $arctan(-pi/4)=-1$
...
Non mi pare. E' $arctan(1)=pi/4$ e $arctan(-1)=-pi/4$
@ramarro
$arctan(pi/4)$ lo lasci così com'è.
$arctan(pi/4)$ lo lasci così com'è.
ok quindi è
$arctan(pi/4) (pi^2/32)-1/2pi/4+1-(pi^2/32arctan(-pi/4)+pi/8-1)$ è aposto cosi?
$arctan(pi/4) (pi^2/32)-1/2pi/4+1-(pi^2/32arctan(-pi/4)+pi/8-1)$ è aposto cosi?
Vedo che non hai seguito il mio consiglio di utilizzare un software di calcolo... Guarda com'è semplice ottenere il risultato con wxMaxima.
A te la verifica del risultato...
A te la verifica del risultato...
ma io non so come ha fatto a arrivare a quel risultato li, io usando un altro programma arrivo a avere per esempio $0,29$ e qualcosa, il punto è che non capisco per quale motivo sostituendo i valori dentro non viene, per esempio perchè non cè il $artan(-pi/4)$ che io ho scritto?anche $arctan(-pi/4)$ è un numero che non si sa quant'è e che dovrei lasciare com'è....cioè che cosa cè che non va nel mio risultato scritto in precedenza...questo devo capire, in verifica io non avro programmi ausiliari.
Grazie
Ciao ci sentiamo
Grazie
Ciao ci sentiamo
Per prima cosa la funzione arcotangente è dispari, quindi
\[
\arctan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\arctan\frac{\pi}{4}
\] Poi prendiamo la soluzione dell'integrale indefinito, cioè
\[
\frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan x
\] e calcoliamola tra gli estremi di integrazione. Otteniamo
\[
\frac{\pi^2}{32}\arctan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\arctan\frac{\pi}{4} + \frac{\pi^2}{32}\arctan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\arctan\frac{\pi}{4}
\] Sommiamo i termini simili e abbiamo il risultato
\[
\left(\frac{\pi^2}{16}+1\right)\arctan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}
\] che infatti è uguale a quello proposto dal software.
\[
\arctan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\arctan\frac{\pi}{4}
\] Poi prendiamo la soluzione dell'integrale indefinito, cioè
\[
\frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan x
\] e calcoliamola tra gli estremi di integrazione. Otteniamo
\[
\frac{\pi^2}{32}\arctan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\arctan\frac{\pi}{4} + \frac{\pi^2}{32}\arctan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\arctan\frac{\pi}{4}
\] Sommiamo i termini simili e abbiamo il risultato
\[
\left(\frac{\pi^2}{16}+1\right)\arctan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}
\] che infatti è uguale a quello proposto dal software.
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