Insiemistica
Salve a tutti ho queste due affermazioni da provare:
1) Provare che $ A uu B = A $ se e solo se $ B sub A $
2) Provare che $ A nn B = A $ se e solo se $ B sub A $
Allora, io ho ragionato così :
1) Per definizione $ A uu B = { x : x in A o x in B } $ e dato che per ipotesi $ B sub A $ ( e quindi $ AA x in B , x in A $ ) l'intersezione tra i due insiemi sarà logicamente $ A $ .
E' giusto così o devo ragionare diversamente? Logicamente cosi' penso sia corretto, dal punto di vista strettamente matematico chiedo a voi! L'altro esercizio l'ho svolto in maniera molto simile.
1) Provare che $ A uu B = A $ se e solo se $ B sub A $
2) Provare che $ A nn B = A $ se e solo se $ B sub A $
Allora, io ho ragionato così :
1) Per definizione $ A uu B = { x : x in A o x in B } $ e dato che per ipotesi $ B sub A $ ( e quindi $ AA x in B , x in A $ ) l'intersezione tra i due insiemi sarà logicamente $ A $ .
E' giusto così o devo ragionare diversamente? Logicamente cosi' penso sia corretto, dal punto di vista strettamente matematico chiedo a voi! L'altro esercizio l'ho svolto in maniera molto simile.
Risposte
Salve Pongo,
quello scritto i rosso a me sembra, in un verso dell'implicazione, la tesi da dimostrare, nell'altro verso forse è l'ipotesi.
Scritte formalmente le due proprietà sono:
1): $ A uu B = A harr B sub A $
2): $ A nn B = A harr B sub A $
Personalmente, penso che in una Secondaria di II grado il metodo usato per dimostrare queste proprietà è quello grafico... Fammi sapere qualcosa se non è questo
Cordiali saluti
"Pongo":
Salve a tutti ho queste due affermazioni da provare:
1) Provare che $ A uu B = A $ se e solo se $ B sub A $
2) Provare che $ A nn B = A $ se e solo se $ B sub A $
Allora, io ho ragionato così :
1) Per definizione $ A uu B = { x : x in A o x in B } $ e dato che per ipotesi $ B sub A $ ( e quindi $ AA x in B , x in A $ ) l'intersezione tra i due insiemi sarà logicamente $ A $ .
E' giusto così o devo ragionare diversamente? Logicamente cosi' penso sia corretto, dal punto di vista strettamente matematico chiedo a voi! L'altro esercizio l'ho svolto in maniera molto simile.
quello scritto i rosso a me sembra, in un verso dell'implicazione, la tesi da dimostrare, nell'altro verso forse è l'ipotesi.
Scritte formalmente le due proprietà sono:
1): $ A uu B = A harr B sub A $
2): $ A nn B = A harr B sub A $
Personalmente, penso che in una Secondaria di II grado il metodo usato per dimostrare queste proprietà è quello grafico... Fammi sapere qualcosa se non è questo
Cordiali saluti
Dai precedenti messaggi suppongo che Pongo non sia uno studente del biennio, dove quelle proprietà sono generalmente dimostrate graficamente, ma uno studente del triennio, quindi serve un po' di rigore per la dimostrazione.
intanto grazie per la risposta ad ogni modo.. bè no, vado all'uni e questi sono esercizi della prima parte di analisi o calcolo 1 che dir si voglia..solo che trattando concetti elementari ho pensato di scriverli in questa sezione! diciamo che dovrei fare una dimostrazione piu' rigorosa e non quella grafica semplice.
Partiamo dal primo: si deve dimostrare che $A uu B =A <=> B sube A$
DIM: ($=>$) Abbiamo l'ipotesi che $A uu B=A$ . Cosa significa, in formule?
DIM: ($=>$) Abbiamo l'ipotesi che $A uu B=A$ . Cosa significa, in formule?
$ A uu B = A $ in formule significa che $ EE x : x in A $ e $ x !in B $ ( dato che per definizione l'insieme unione è quell'insieme delle x che appartengono o ad A o a B ) no?
No. Se ad esempio $A={0,1}$ e $B={0,1}$ hai che $A uu B=A$ ma non vale quello che hai scritto tu.
Scrivi la definizione di $A uu B$, poi esplicita il fatto che $A uu B=A$ e da questo deduci che $B sube A$.
Ti faccio notare che $B sube A$ equivale a dire che $AA x, x in B => x in A$ . E' questo che devi dimostrare
Scrivi la definizione di $A uu B$, poi esplicita il fatto che $A uu B=A$ e da questo deduci che $B sube A$.
Ti faccio notare che $B sube A$ equivale a dire che $AA x, x in B => x in A$ . E' questo che devi dimostrare
mmmm allora posso semplicemente dimostrarlo in 2 casi? cioè se $ B sub A $ e in particolare $ B $ coincide con $ A $ allora l'unione ci darà $ A $, e se $ B sub A $ ma non coincidono basta far vedere che, dato che $ B $ è un sottoinsieme di $ A $, allora $ AA x in B $ $ x in A $ e quindi l'unione ci darà sempre l'insieme $ A $ no?
Perchè dividere in due casi?
Se $B sube A$, indipendentemente dal fatto che coincida o meno con $A$, sappiamo che $AAx, x in B => x in A$
Certo, in questo caso $A uu B=A$.
Hai dunque dimostrato (anche se non in modo rigoroso, ma solo intuitivo) la parte ($\Leftarrow$).
Ora ti manca la parte ($=>$)
Se $B sube A$, indipendentemente dal fatto che coincida o meno con $A$, sappiamo che $AAx, x in B => x in A$
Certo, in questo caso $A uu B=A$.
Hai dunque dimostrato (anche se non in modo rigoroso, ma solo intuitivo) la parte ($\Leftarrow$).
Ora ti manca la parte ($=>$)
Bè ora dovrei provare che $ A sub A uu B $ , bè piu' o meno il ragionamento è simile no? dato che sappiamo già che l'unione dei due insiemi ci da $ A $ è ovvio che $ A sube A $. Giusto?
"Pongo":No, non devi provare quello.
Bè ora dovrei provare che $ A sub A uu B $
Hai come ipotesi che $A uu B=A$ e come tesi che $B sube A$
Se prima ho provato che $ B sube A $ ora devo provare che $ A sube B $? ( se è sbagliato abbi pietà di me 
)
)
"Pongo":Qui hai dimostrato ("dimostrato", parola grossa
se $ B sub A $ e in particolare $ B $ coincide con $ A $ allora l'unione ci darà $ A $, e se $ B sub A $ ma non coincidono basta far vedere che, dato che $ B $ è un sottoinsieme di $ A $, allora $ AA x in B $ $ x in A $ e quindi l'unione ci darà sempre l'insieme $ A $ no?
) che se $B sube A$ allora $A uu B=A$.Ora devi dimostrare il viceversa, cioè che se $A uu B=A$ allora $B sube A$.
Hai capito ora?
Diciamo che mi accontento anche di una dimostrazione parecchio blanda, l'importante è che ci sia il concetto comunque sisi ora si grazie. Ad ogni modo, $ A uu B = A $ implica che ogni elemento facente parte dell'insieme unione fa parte di $ A $ e da questo possiamo dedurre che se l'insieme unione ci da $ A $ allora $ B sube A $ . Giusto?
comunque sisi ora si grazie. Ad ogni modo, $ A uu B = A $ implica che ogni elemento facente parte dell'insieme unione fa parte di $ A $ e da questo possiamo dedurre che se l'insieme unione ci da $ A $ allora $ B sube A $ . Giusto?
Guarda, sicuramente avrai capito, ma non è che tu abbia spiegato granchè.
Se riguardi il tuo post noterai che hai scritto che
dimostrare che se $A uu B=A$ allora $B sube A$ si dimostra così:
se $A uu B= A$ allora $B sube A$.
Un po' come dire che una certa cosa è vera perchè è vera.
Se ti accontenti di avere capito che quel teorema è vero, allora sei a posto così e ci possiamo salutare.
Ma se vuoi anche scrivere una dimostrazione rigorosa, ti manca ancora qualcosa.
Se riguardi il tuo post noterai che hai scritto che
dimostrare che se $A uu B=A$ allora $B sube A$ si dimostra così:
se $A uu B= A$ allora $B sube A$.
Un po' come dire che una certa cosa è vera perchè è vera.
Se ti accontenti di avere capito che quel teorema è vero, allora sei a posto così e ci possiamo salutare.
Ma se vuoi anche scrivere una dimostrazione rigorosa, ti manca ancora qualcosa.
Diciamo che mi piacerebbe dimostrarlo rigorosamente.. anche se non so come!
Ipotesi: $AA x, [(x in A vv x in B)=> x in A]$ (ho "tradotto" $A uu B=A$)
Tesi: $AA x, [x in B => x in A]$
Svolgimento: $AA x, [x in B => (x in A vv x in B)]$ (cioè $B sube A uu B$)... ora sfrutti l'ipotesi e arrivi alla tesi
Tesi: $AA x, [x in B => x in A]$
Svolgimento: $AA x, [x in B => (x in A vv x in B)]$ (cioè $B sube A uu B$)... ora sfrutti l'ipotesi e arrivi alla tesi
Ah ho capito, diciamo che è il ragionamento di prima solo che è scritto in maniera decente! grazie della disponibilità Gi8 
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