Insiemistica (34526)

[gabriele1987]

per esempio un altro esercizio:

sia N {1,2,3,4...}ia data la relazione binaria R su N definita dalla legge: nRm implica (n+m)/2 appartenente a N, qualunque sia n,m appartenente a N. il risultato è che R è una relazione di equivalenzaa

ma come si giunge a questo risultato? mi potreste spiegare i passaggi?
grazie

[ciampax]

Allora, vediamo se ho capito: hai la segente relazione sul prodotto cartesiano

[math]\mathbb{N}\times\mathbb{N}[/math]

:

[math](n,m)\in\mathcal{R}\quad\Leftrightarrow\quad \frac{n+m}{2}\in\mathbb{N}[/math]

e devi dimostrare che è di equivalenza. Allora:

1) riflessività - poiché

[math]\frac{n+n}{2}=\frac{2n}{2}=n\in\mathbb{N}[/math]

segue che

[math](n,n)\in\mathcal{R}[/math]

e quindi la relazione è riflessiva;

2) simmetria - poiché

[math](n,m)\in\mathcal{R}\Rightarrow\frac{n+m}{2}\in\mathbb{N}\Rightarrow\frac{m+n}{2}\in\mathbb{N}\Rightarrow(m,n)\in\mathcal{R}[/math]

segue che la relazione è simmetrica;

3) transitività - poiché

[math](n,m)\in\mathcal{R},\ (m,s)\in\mathcal{R}\Rightarrow \frac{n+m}{2}\in\mathbb{N},\ \frac{m+s}{2}\in\mathbb{N}[/math]

si ha che

[math]\frac{n+s}{2}=\frac{n+s+2m-2m}{2}=\frac{n+m}{2}+\frac{m+s}{2}-m\in\mathbb{N}[/math]

in quanto tutti e tre gli addendi sono numeri naturali e la somma dei primi due è sicuramente maggiore di

[math]m[/math]

. Ne segue che

[math](n,s)\in\mathcal{R}[/math]

e quindi la relazione è di equivalenza.