Insiemi: verificare la correttezza e dimostrare
Ho tre problemi di cui non sono sicuro sullo svolgimento. Vi faccio vedere come procedo.
1. Se $ C \subseteq A $ e $ C \subseteq B $ allora $ C \subseteq A \nn B $
se $ x \in C \Rightarrow x \in A $
se $ x \in C \Rightarrow x \in B $
Alla luce di ciò $ x \in A \nn B $ e di conseguenza $ x \in C $
2. Se $ x \in A $ e $ A \subseteq B $ allora $ x \in B $
Se $ x \in A $ e $ A \subseteq B $ allora $ x \in B $ perché ogni elemento di A deve essere anche di B, altrimenti A non potrebbe essere un sottoinsieme di B.
3. Se $ A \subseteq B $ e $ x \in B $ allora $ x \in A $
Dato che $ x \in B $ e $ B \supseteq A $ allora $ x $ può appartenere ad $A, B$ o entrambi.
Grazie
1. Se $ C \subseteq A $ e $ C \subseteq B $ allora $ C \subseteq A \nn B $
se $ x \in C \Rightarrow x \in A $
se $ x \in C \Rightarrow x \in B $
Alla luce di ciò $ x \in A \nn B $ e di conseguenza $ x \in C $
2. Se $ x \in A $ e $ A \subseteq B $ allora $ x \in B $
Se $ x \in A $ e $ A \subseteq B $ allora $ x \in B $ perché ogni elemento di A deve essere anche di B, altrimenti A non potrebbe essere un sottoinsieme di B.
3. Se $ A \subseteq B $ e $ x \in B $ allora $ x \in A $
Dato che $ x \in B $ e $ B \supseteq A $ allora $ x $ può appartenere ad $A, B$ o entrambi.
Grazie
Risposte
1 e 2 sono corrette. Nella 3 c’è un errore, controlla i versi delle relazioni. Se B sono i numeri naturali e A i numeri pari, se $x=5$ sono vere le ipotesi
$ A \subseteq B $ e $ x \in B $ ma falsa la tesi, infatti $ x !in A $
$ A \subseteq B $ e $ x \in B $ ma falsa la tesi, infatti $ x !in A $
Scrivere $A \subseteq B $ e $ B \supseteq A $ è diverso?
Non capisco come mai ipotizzi che B siano numeri naturali ed A numeri dispari?
Non capisco come mai ipotizzi che B siano numeri naturali ed A numeri dispari?
Ha fatto un esempio per dimostrarti che la tesi è falsa.
Quelle due espressioni che hai scritto sono equivalenti ma il problema non è quello.
@melia ti ha suggerito di rivedere il testo originale perché, come ho detto, la terza è falsa.
Quelle due espressioni che hai scritto sono equivalenti ma il problema non è quello.
@melia ti ha suggerito di rivedere il testo originale perché, come ho detto, la terza è falsa.
Ok, perdonatemi, sto cercando di capire il ragionamento: quindi $ A \sube B $ ed $ x \in B $, fin qui ci sono. Quindi non è corretto dire che x potrebbe appartenere anche all'insieme A?
Capisco perfettamente l'esempio di @melia con $ B= \mathbb{N} $ ed $ A = numeri pari $. Ovviamente in questo caso se $ x=5 $ allora $x \notin A $. Ma se $ x = 4 $ allora $x \in A$ e $ x \in B $?
Quello che forse non ho ben chiaro è come arrivo a questo ragionamento. Almeno in futuro potrò arrivarci da solo.
Spero di essere stato chiaro. Grazie mille
Capisco perfettamente l'esempio di @melia con $ B= \mathbb{N} $ ed $ A = numeri pari $. Ovviamente in questo caso se $ x=5 $ allora $x \notin A $. Ma se $ x = 4 $ allora $x \in A$ e $ x \in B $?
Quello che forse non ho ben chiaro è come arrivo a questo ragionamento. Almeno in futuro potrò arrivarci da solo.
Spero di essere stato chiaro. Grazie mille
Se $A$ è un sottoinsieme di $B$ è chiaro che ogni elemento di $A$ appartiene anche a $B$ ma, a meno che i due insiemi coincidano (e in generale non lo sono), ci sarà qualche elemento di $B$ (anche uno solo) che NON appartiene ad $A$ quindi quelle due condizioni ($A sube B$ e $x in B$) da sole non sono sufficienti per garantire che $x$ appartenga anche ad $A$.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ok, adesso è più chiaro. Vi ringrazio entrambi
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