Insiemi equipotenti
Buonasera, non so se ho postato l'argomento nella sezione giusta.
In pratica avrei bisogno di sapere come è possibile dimostrare che il prodotto cartesiano N X N è equipotente ad N.
Ora io ho studiato che 2 insiemi si dicono equipotenti se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dei 2 insiemi.
Deriva che un insieme ha la potenza del numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N dei numeri naturali.
Detto questo però non capisco come posso dimostrare che N X N è equipotente ad N.
Sareste così gentili da aiutarmi?
Ringrazio in anticipo per ogni eventuale risposta.
In pratica avrei bisogno di sapere come è possibile dimostrare che il prodotto cartesiano N X N è equipotente ad N.
Ora io ho studiato che 2 insiemi si dicono equipotenti se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dei 2 insiemi.
Deriva che un insieme ha la potenza del numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N dei numeri naturali.
Detto questo però non capisco come posso dimostrare che N X N è equipotente ad N.
Sareste così gentili da aiutarmi?
Ringrazio in anticipo per ogni eventuale risposta.
Risposte
Allora ...
disegna due semirette consecutive e perpendicolari, scegli una unità di misura e sistema i numeri naturali su ciascuna di esse (l'origine ha coordinate $0;0$) ciascuna coppia di coordinate (un punto contraddistinto da una coppia di numeri naturali) rappresenta un elemento dell'insieme $NN xx NN$.
ora a noi tocca trovare un modo per toccare tutti questi punti senza tralasciarne nessuno, così è come se li "contassimo", li numeriamo insomma: il primo è 1, il secondo 2 e così via...
Prova questo percorso: da $(0;0)$ vai a $(0;1)$ poi
$(1;0) -> (2;0)-> (1;1) -> (0; 2) -> (0;3) -> (1;3) -> (1;2) -> (2;1) -> (3;0) -> (4;0) ->(3;1)$
riesci ad andare avanti da solo?
disegna due semirette consecutive e perpendicolari, scegli una unità di misura e sistema i numeri naturali su ciascuna di esse (l'origine ha coordinate $0;0$) ciascuna coppia di coordinate (un punto contraddistinto da una coppia di numeri naturali) rappresenta un elemento dell'insieme $NN xx NN$.
ora a noi tocca trovare un modo per toccare tutti questi punti senza tralasciarne nessuno, così è come se li "contassimo", li numeriamo insomma: il primo è 1, il secondo 2 e così via...
Prova questo percorso: da $(0;0)$ vai a $(0;1)$ poi
$(1;0) -> (2;0)-> (1;1) -> (0; 2) -> (0;3) -> (1;3) -> (1;2) -> (2;1) -> (3;0) -> (4;0) ->(3;1)$
riesci ad andare avanti da solo?
Grazie Giò....
Io, non so se dico bene, per dimostrare che il prodotto cartesiano NxN è numerabile, cioè che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N ho pensato alla funzione f: NxN \longrightarrow N così definita:
f(x,y) = y + 1/2 (x+y) (x+y+1)
così facendo avrò:
f(0,0) = 0
f(1,0) = 1
f(0,1) = 2
f(2,0) = 3
f(1,1) = 4
f(0,2) = 5
f(3,0) = 6 ecc ecc....
quindi diagonalizzando io partire con (0,0) poi (1,0) ecc.. ecc....
Non so dove sbaglio.... visto che come secondo elemento che conti mi metti (0,1) e non (1,0).
Grazie comunque del chiarimento
Io, non so se dico bene, per dimostrare che il prodotto cartesiano NxN è numerabile, cioè che può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N ho pensato alla funzione f: NxN \longrightarrow N così definita:
f(x,y) = y + 1/2 (x+y) (x+y+1)
così facendo avrò:
f(0,0) = 0
f(1,0) = 1
f(0,1) = 2
f(2,0) = 3
f(1,1) = 4
f(0,2) = 5
f(3,0) = 6 ecc ecc....
quindi diagonalizzando io partire con (0,0) poi (1,0) ecc.. ecc....
Non so dove sbaglio.... visto che come secondo elemento che conti mi metti (0,1) e non (1,0).
Grazie comunque del chiarimento
"rollitata":
quindi diagonalizzando io partire con (0,0) poi (1,0) ecc.. ecc....
Non so dove sbaglio.... visto che come secondo elemento che conti mi metti (0,1) e non (1,0).
credo sia lo stesso.
Cerca di usare i codici per scrivere le formule, risulta tutto più leggibile.
[size=80]Il regolamento rende obbligatorio l'uso dei codici dopo 30 messaggi e tu sei a 29 [/size]
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