Insiemi

[Sk_Anonymous]

Sia A l'insieme dei punti di una circonferenza O e di raggio r e B l'insieme dei punti di un'altra circonferenza di centro O' e raggio r'.
Considerare l'insieme A$nn$B nei tre casi possibili:
OO'$>-$ r+r'
OO'=r+r'
OO'=$-<$ r+r'


Ecco come ho tentato di risolverlo...
prendendo O al centro del sistema di riferimento cartesiano e O' nel punto di coordinate (1,1) OO' verrebbe sempre zero quindi

OO'$>-$ r+r' implica un insieme vuoto
OO'=r+r' implica un insieme vuoto
OO'=$-<$ r+r' non implica necessariamente un insieme "pieno"

mi sa che ho sbagliato l'impostazione...

[G.D.5]

L'obiettivo dell'esercizio è quello di farti cogliere il legame che sussiste tra le posizioni reciproche di due circonferenze e le distanze tra i rispettivi centri.
Se $OO' > r+r'$, allora le circonferenze sono esterne, i.e. $A\cap B=\emptyset$.
Se $OO'=r+r'$, allora le circonferenze sono tangenti esternamente, i.e. $A\cap B=\{x\}$.
Se $OO'=r-r'$, allora le circonferenze sono tangenti internamente, i.e. $A\cap B=\{x\}$.
Se $r-r'

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[Sk_Anonymous]

ah ecco...con OO' si voleva indicare la distanza tra i due centri...se la distanza tra i due centri è maggiore della somma dei raggi è esterna, se la distanza tra i due centri è uguale alla somma dei raggi sono tangenti , se la distanza tra i due centri è minore della somma dei raggi hanno 2 punti in comune...
capito...
grazie
ciao!

[Sk_Anonymous]

ne avrei un'altro...
Considerare l'insieme A delle frazioni proprie con 3 al denominatore,B insieme delle frazioni proprie con 12 al denominatore,Cinsieme delle frazioni proprie con 5 al denominatore
determinare:
A$uuu$ B
A$uuu$ C
B$uuu$ C
A$uuu$ B
A$uuu$ C
B$uuu$ C

ecco come ho fatto:
ho posto
A={x tale che x=b/3,b$in$ N,b> 3}
B={x tale che x=b/12,b $in$ N,b> 12}
C={x tale che x=b/5,b $in$ N,b> 5}

ho poi svolto:
A$uuu$ B={x tale che x$in$A,x$in$B}
A$uuu$ B={x tale che x$in$A oppure x$in$B}
e così via per le altre...


non sono convinto del metodo con cui le ho risolte..pareri?

[G.D.5]

"Kalos":ne avrei un'altro...
Considerare l'insieme A delle frazioni proprie con 3 al denominatore,B insieme delle frazioni proprie con 12 al denominatore,Cinsieme delle frazioni proprie con 5 al denominatore
determinare:
A$uuu$ B
A$uuu$ C
B$uuu$ C
A$uuu$ B
A$uuu$ C
B$uuu$ C

ecco come ho fatto:
ho posto
A={x tale che x=b/3,b$in$ N,b> 3}
B={x tale che x=b/12,b $in$ N,b> 12}
C={x tale che x=b/5,b $in$ N,b> 5}

ho poi svolto:
A$uuu$ B={x tale che x$in$A,x$in$B}
A$uuu$ B={x tale che x$in$A oppure x$in$B}
e così via per le altre...


non sono convinto del metodo con cui le ho risolte..pareri?

Nota bene: i tre insiemi sono finiti; inoltre hai scritto due volte la stessa "operazione" due volte per ogni coppia di insiemi.

[@melia]

Scusa, ma da come sono stati descritti gli insiemi sembra che $1/3$ non sia una frazione propria, come invece è.

[Sk_Anonymous]

ovvio..mi sono confuso...propria è quando il numeratore è minore del denominatore...ergo:
A={x tale che x=b/3,b$in$ N,b minore 3}
B={x tale che x=b/12,b $in$ N,b minore 12}
C={x tale che x=b/5,b $in$ N,b minore 5}
quindi:
A⋃ B={x tale che x∈A,x∈B}
A⋃ B={x tale che x∈A oppure x∈B}
e le altre sulla falsa riga di questa..
va bene la forma intensiva così come l'ho scritta?

[G.D.5]

"Kalos":
A⋃ B={x tale che x∈A,x∈B}
A⋃ B={x tale che x∈A oppure x∈B}
e le altre sulla falsa riga di questa..
va bene la forma intensiva così come l'ho scritta?

Hai scritto due volte il medesimo insieme, i.e. $A \cup B$; inoltre la rappresentazione intensiva che ne dai è la semplice definizione di unione e tra l'altro nel primo caso è anche sbagliata perché è la definizione di intersezione.

Ti ripeto: quegli insiemi sono finiti.

[Sk_Anonymous]

riposto...speriamo correttamente...per quanto rigurda il simbolo uno è intersezione e uno unione..ho sbalgiato a postare...
A={x tale che x=b/3,b$in$ N,b minore 3}
B={x tale che x=b/12,b $in$ N,b minore 12}
C={x tale che x=b/5,b $in$ N,b minore 5}
quindi:
A icongruente B={x tale che x∈A,x∈B}
A⋃ B={x tale che x∈A oppure x∈B}
e le altre sulla falsa riga di queste..
oppure estensivamente:
A⋃ B={0,1/3,2/3,1/12,2/12;3/12,4/12,5/12..sino a 11/12}
così vanno bene?
comuqnue gli insiemi A e B che ho reppresentato intensivamente sono finiti

[G.D.5]

Quando dici che $A \cup B = \{x \text{ t.c. } x \in A \vee x \in B\}$ fai, relativamente al tuo esercizio, una affermazione tautologica: questa è la definizione di unione tra insiemi, ergo non serve a nulla, ai fini dell'esercizio, asserire per i dati insiemi $A,B$ della traccia che la loro unione è quella.
Lo stesso discorso vale quando affermi che $A \cap B=\{x \text{ t.c. } x \in A \wedge x \in B\}$.

Tornando alla traccia: l'insieme $A$ è l'insieme delle frazioni proprie a denominatore $3$, quindi $A:=\{+-\frac{2}{3}, +-\frac{1}{3},0\}$; $B$ è l'insieme delle frazioni proprie a denominatore $12$, quindi $B:=\{+-\frac{11}{12}, +-\frac{10}{12}, +-\frac{9}{12}.+-\frac{8}{12},+-\frac{7}{12},+-\frac{6}{12},+-\frac{5}{12},+-\frac{4}{12},+-\frac{3}{12},+-\frac{2}{12},+-\frac{1}{12},0\}$; l'insieme $C:=\{+-\frac{4}{5},+-\frac{3}{5},+-\frac{2}{5},+-\frac{1}{5},0\}$. La tua forma intensiva per $A,B,C$ è buona, quella per le loro unioni e intersezioni no. Se vuoi continuare a usare l'intensiva, allora, e.g. $A\cap B=\{x \text{ t.c. } x=\frac{a}{3} \wedge x=\frac{b}{12}, \text{ con } a<3 \wedge b<12\}=A$, poiché $3$ divide $12$ e $y<3=>y*4<3*4=12$.
Il resto segue in maniera analoga.

Il tutto salvo mie sviste.

P.S.
Una domanda a chi ne sa più di me: $0$ è una frazione propria o mi sono flesciato?

[Sk_Anonymous]

ok..capito il concetto,la forma estensiva risulta facile,meno (per me) quella intensiva data da te...so di essere perseverante ma mi spiegheresti passo epr passo quella intensiva?
grazie!

[G.D.5]

Sia $x$ una frazione. $x \in A <=> x=\frac{a}{3}$ con $a=0,+-1,+-2$; $x in B <=> x=\frac{b}{12}$ con $b=0,+-1,+-2,+-3,+-4,+-5,\ldots,+-11$. Se $x \in A \cap B$, allora $x \in A \wedge x \in B$: per quanto detto prima $x \in A \wedge x \in B <=> x=\frac{a}{3} \, (\text{con } a=+,+-1,+-2) \wedge x=\frac{b}{12} \, (\text{con } b=0,+-1,+-2,\ldots,+-11)$. Ogni frazione propria a denominatore $3$ può diventare propria a denominatore $12$: infatti basta moltiplicare numeratore e denominatore per $4$; viceversa, non tutte le frazioni proprie a denominatore $12$ possono diventare prorprie a denominatore $3$, hanno questa proprietà solo quelle per cui $MCD(b,12)=4$, ma queste sono tutte e sole quelle che si ottengono passando le proprie a denominatore $3$ in proprie a denominatore $12$, quindi $A \cap B=A$.

[Sk_Anonymous]

"Kalos":ne avrei un'altro...
Considerare l'insieme A delle frazioni proprie con 3 al denominatore,B insieme delle frazioni proprie con 12 al denominatore,Cinsieme delle frazioni proprie con 5 al denominatore

quindi se ho capito bene...
A$nn$ C
B$nn$ C
sono entrambi insiemi vuoti giusto?

[G.D.5]

Direi di sì.

[Sk_Anonymous]

wizard oso ancora chidere il tuo aiuto
un'altro questito...
facendo sempre riferimento agli insieme che rapporto c'è tra uqeste affermazioni:

"scrivo ciò che penso";"Penso ciò che scrivo"
se S e P corrispondono ai due omonimi insiemi allora:
nel primo caso:S è icluso in senso largo a P; nel secondo caso:P è incluso i senso largo a S;

"Quando corro ,mi affatico";"Quando mi affatico, corro"
prendendo come insiemi A (istanti in cui mi affatico) e C(istanti in cui corro) hi:
nel primo caso:C incluso in A; nel secondo caso A incluso in C


"Lo sport è un divertimento";"Il divertimento è uno sport"
prendendo sempre S(spot) D(divertimento)ho:
nella primo caso: S incluso in D; nel secondo caso ho D incluso in S

dimmi se il mio ragionamento è corretto..ho dei dubbi sul primo esercizio...
ciao wizard e grazie dell'aiuto

[adaBTTLS1]

mi intrometto: avrei anch'io qualche dubbio sul primo esercizio, perché dipende dall'interpretazione del testo.
scrivo ciò che penso: giusto come hai detto se significa che non scrivi ciò che non pensi, il contrario se significa che scrivi qualunque cosa che ti capita di pensare.
analogamente per penso ciò che scrivo, anche se la tua interpretazione mi pare forzata: giusto come hai detto se qualsiasi cosa tu pensi, la scrivi, altrimenti, se scrivi solo ciò che pensi, è vero il contrario (confronta con l'altro caso).
ciao.

[G.D.5]

"Kalos":wizard oso ancora chidere il tuo aiuto
un'altro questito...
facendo sempre riferimento agli insieme che rapporto c'è tra uqeste affermazioni:

"scrivo ciò che penso";"Penso ciò che scrivo"
se S e P corrispondono ai due omonimi insiemi allora:
nel primo caso:S è icluso in senso largo a P; nel secondo caso:P è incluso i senso largo a S;

"Quando corro ,mi affatico";"Quando mi affatico, corro"
prendendo come insiemi A (istanti in cui mi affatico) e C(istanti in cui corro) hi:
nel primo caso:C incluso in A; nel secondo caso A incluso in C


"Lo sport è un divertimento";"Il divertimento è uno sport"
prendendo sempre S(spot) D(divertimento)ho:
nella primo caso: S incluso in D; nel secondo caso ho D incluso in S

dimmi se il mio ragionamento è corretto..ho dei dubbi sul primo esercizio...
ciao wizard e grazie dell'aiuto

Io onestamente non l'ho capito questo esercizio...

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":[quote="Kalos"]wizard oso ancora chidere il tuo aiuto
un'altro questito...
facendo sempre riferimento agli insieme che rapporto c'è tra uqeste affermazioni:

"scrivo ciò che penso";"Penso ciò che scrivo"
se S e P corrispondono ai due omonimi insiemi allora:
nel primo caso:S è icluso in senso largo a P; nel secondo caso:P è incluso i senso largo a S;

"Quando corro ,mi affatico";"Quando mi affatico, corro"
prendendo come insiemi A (istanti in cui mi affatico) e C(istanti in cui corro) hi:
nel primo caso:C incluso in A; nel secondo caso A incluso in C


"Lo sport è un divertimento";"Il divertimento è uno sport"
prendendo sempre S(spot) D(divertimento)ho:
nella primo caso: S incluso in D; nel secondo caso ho D incluso in S

dimmi se il mio ragionamento è corretto..ho dei dubbi sul primo esercizio...
ciao wizard e grazie dell'aiuto

Io onestamente non l'ho capito questo esercizio...[/quote]

praticamente devi rappresentare sotto forma di insieme le affermazioni...
ultima domanda sugli insiemi e poi ho finito il capitolo e tutti gli esercizi
Quando si di "legge di composizione interna all'insieme X" significa ceh qualunque sia l'operazione in atto il risultato non uscira mai da X
es.l'addizione è una legge di composizione interna ad N...
ora una domanda..che cambia se dico "legge di composizione interna all'insieme X" oppure "legge di composizione interna all'insieme X,ovunqu definita" ?mi è venuto questo dubbio perchè la domanda è posta diversamente in alcuni esercizi...

[G.D.5]

Che io sappia, il termine legge di composizione è sinonimo di operazione binaria che, a sua volta, per definizione, è una applicazione $\star : S\times S to S$ e, quindi, è, per sua stessa definizione, ovunque definita per ogni $(x,y) \in S\times S$.
Quindi io non ci vedo alcuna differenza, poi non so...

[Sk_Anonymous]

"WiZaRd":Che io sappia, il termine legge di composizione è sinonimo di operazione binaria che, a sua volta, per definizione, è una applicazione $\star : S\times S to S$ e, quindi, è, per sua stessa definizione, ovunque definita per ogni $(x,y) \in S\times S$.
Quindi io non ci vedo alcuna differenza, poi non so...

tempestivo come sempre