Insieme quoziente

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29 gen 2019, 11:18

ciao a tutti, dovrei risolvere il seguente esercizio: descrivere le classi di equivalenza e l'insieme quoziente di αRβ con α-β multiplo dell'angolo giro.
Ho provato così: classi
[0]={0,360,720,..,-360,-720,...}
[1]={1,361,721,.., -359,-719,..}
....
[359]={359,719,1079,...,-1,-361,...}

che ne dite?
Grazie

Risposte

marco2132k

29 gen 2019, 22:18

Ciao.

[ot]Carino questo esercizio. Da dove viene?[/ot]

Se ho capito bene, devi trovare le classi di equivalenza della relazione binaria [strike]su[/strike] $ \mathcal{R}\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R} $ che $ \alpha\mathcal{R}\beta $ se e solo se $ \alpha-\beta = 2k\pi $, con $ k\in\mathbb{Z} $.

Le classi che devi trovare sono i sottoinsiemi della retta reale del tipo, per un $ \alpha $ reale \[ \left[\alpha\right]=\left\{\beta:\text{$ \beta\in\mathbb{R} $ e $ \alpha\equiv\beta\pmod{2\pi} $}\right\} \] Vedi qui: aritmetica modulare.

Il quoziente di $ \mathcal{R} $ è l'insieme degli $ \left\{\theta-2k\pi:k\in\mathbb{Z}\right\} $, per ogni $ \theta\in\mathbb{R} $.
Dimostrazione. Considerato un $ \theta\in\mathbb{R} $, la sua classe di equivalenza è data da tutti i $ \phi $ per cui esiste un $ k $ intero tale che $ \theta-\phi=2k\pi $. Se $ \phi $ è un numero che soddisfa a ciò per $ k_0 $ intero, $ \phi=\theta-2k_0\pi $; Quindi è ovviamente $ [\theta]\subset\left\{\theta-2k\pi:k\in\mathbb{Z}\right\} $. Dico che vale anche l'inclusione inversa: se consideriamo un $ \phi $ reale pari a $ \theta-2k\pi $, per un qualsiasi numero intero $ k $, allora $ \theta-\phi=\theta-\theta-2k\pi=2k'\pi $, con $ k'=-1k $ (ergo $ \theta\equiv\phi\pmod{2\pi} $). $ \square $

Oltre all'esercizio che ti ho spoilerato, come rappresenteresti "geometricamente" le classi del quoziente? Che cosa "astraggono"?