Insieme illimitato superiormente

[oromiscanneto]

Consideriamo A={x/x=(n^2+5):2,n€N}.
Possiamo verificare che l'insieme è illimitato superiormente: considerando una K€R+, deve esistere almeno una x>k. Svolgendo i calcoli, effettivamente si ha x>k quando n>radice di(k-5/2).
Però questo ci costringe a porre k maggiore o uguale a 5/2: com'è possibile? Sembra una contraddizione, perché se in A ci sono x maggiori di qualunque k poiché è un insieme illimitato, queste x sono sicuramente maggiori anche dei valori di k che escludiamo. Se infatti consideriamo k=2 ad esempio sappiamo che ci sono tanti valori di x maggiori di k.
Come giustifichiamo questa esclusione dovuta ai calcoli?

[ciampax]

Sbagli ad applicare la definizione: un insieme è illimitato superiormente se per ogni

[math]k>0[/math]

si abbia che esistano sempre elementi di tale insieme per cui

[math]x>k[/math]

.

Preso un

[math]k>0[/math]

qualsiasi, allora devi verificare quando si abbia

[math]\frac{n^2+5}{2}>k[/math]

: tale situazione, visto che

[math]n[/math]

è naturale, si verifica ogni volta che

[math]n>\sqrt{2k-5}[/math]

. Ora, questa cosa ti dice che per qualunque

[math]k[/math]

per cui la radice è definita,basta prendere n maggiore di quella quantità e sicuramente troverai valori maggiori del k fissato.

Quello su cui trovi problemi è un fatto che si risolve semplicemente osservando che in generale, tutti i valori del tuo insieme saranno maggiori o uguali a 5/2 (valore che ottieni per n=0) e quindi, scegliere un k positivo ma inferiore a 5/2 implicherebbe che tutti i valori del tuo insieme superino questo k, cosa che comunque non contraddice la definizione scritta sopra.

Chiaro?