Insieme di definizione funzione in valore assoluto.
Salve.
Il problema che sto per porvi coincide con il primo quesito del primo problema della maturità del 2001 (corsi tradizionali-sessione suppletiva); tuttavia anche consultando gli svolgimenti presenti sul web, non sono stato in grado di riuscire a comprendere le modalità di risoluzione dello stesso.
Si consideri la funzione reale $f_m$ di variabile reale $x$ tale che $f_m=x^2/(|x-2m|+m)$ essendo $m$ un parametro reale non nullo.
a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione.
Personalmente non so proprio come comportarmi nei confronti di un valore assoluto.
Consultando le soluzioni trovate in internet capisco che bisogna distinguere due casi: $m>0$ e $m<0$.
Nel primo caso:
considerando positiva l'espressione in valore assoluto ( $x>=2m$ ), diventa $x^2/(x-m)$ e poiché $x$ è sempre diverso da m, essendo maggiore del doppio di m, l'insieme di definizione comprende tutto quello dei numeri reali;
considerandola negativa invece, diventa: $x^2/(-x+3m)$; essendo x minore del doppio di m, sarà sicuramente diverso dal suo triplo; ne consegue che anche qui l'insieme di definizione comprende tutto R.
Nel secondo caso:
non riesco a spiegarmi come facciano a cambiare i valori dell'insieme di definizione e in che modo.
E per quanto riguarda l'insieme di continuità e di derivabilità , come proseguo?
Vi ringrazio anticipatamente e mi scuso per il linguaggio "poco matematico" da me usato.
Il problema che sto per porvi coincide con il primo quesito del primo problema della maturità del 2001 (corsi tradizionali-sessione suppletiva); tuttavia anche consultando gli svolgimenti presenti sul web, non sono stato in grado di riuscire a comprendere le modalità di risoluzione dello stesso.
Si consideri la funzione reale $f_m$ di variabile reale $x$ tale che $f_m=x^2/(|x-2m|+m)$ essendo $m$ un parametro reale non nullo.
a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione.
Personalmente non so proprio come comportarmi nei confronti di un valore assoluto.
Consultando le soluzioni trovate in internet capisco che bisogna distinguere due casi: $m>0$ e $m<0$.
Nel primo caso:
considerando positiva l'espressione in valore assoluto ( $x>=2m$ ), diventa $x^2/(x-m)$ e poiché $x$ è sempre diverso da m, essendo maggiore del doppio di m, l'insieme di definizione comprende tutto quello dei numeri reali;
considerandola negativa invece, diventa: $x^2/(-x+3m)$; essendo x minore del doppio di m, sarà sicuramente diverso dal suo triplo; ne consegue che anche qui l'insieme di definizione comprende tutto R.
Nel secondo caso:
non riesco a spiegarmi come facciano a cambiare i valori dell'insieme di definizione e in che modo.
E per quanto riguarda l'insieme di continuità e di derivabilità , come proseguo?
Vi ringrazio anticipatamente e mi scuso per il linguaggio "poco matematico" da me usato.
Risposte
caso m>0.
x=m non è verificata se x>=2m
x=3m non è mai verificata se x<2m
cose che avevi già detto, separatamente.
dunque il dominio è R se m>0.
caso m<0.
x=m è verificata se x>=2m, perché, se m<0, allora 2m
dunque se $m<0$ il dominio è $D=RR-{3m, m}$
a parte i punti di non definizione, il punto critico è quello per cui si annulla l'argomento del valore assoluto.
quindi in entrambi i casi va considerato $x=2m$, in cui per esperienza la funzione dovrebbe risultare continua ma non derivabile.
applica le definizioni trovando i limiti (8) ... da destra e da sinistra di f e della derivata (nei due casi, anche se naturalmente non serve svolgere 8 procedimenti diversi per trovarli!).
spero di essere stata utile. prova e facci sapere. ciao.
x=m non è verificata se x>=2m
x=3m non è mai verificata se x<2m
cose che avevi già detto, separatamente.
dunque il dominio è R se m>0.
caso m<0.
x=m è verificata se x>=2m, perché, se m<0, allora 2m
dunque se $m<0$ il dominio è $D=RR-{3m, m}$
a parte i punti di non definizione, il punto critico è quello per cui si annulla l'argomento del valore assoluto.
quindi in entrambi i casi va considerato $x=2m$, in cui per esperienza la funzione dovrebbe risultare continua ma non derivabile.
applica le definizioni trovando i limiti (8) ... da destra e da sinistra di f e della derivata (nei due casi, anche se naturalmente non serve svolgere 8 procedimenti diversi per trovarli!).
spero di essere stata utile. prova e facci sapere. ciao.
Grazie adaBTTLS, tuttavia non mi faccio capace del ragionamento.
Per quanto riguarda il primo caso, con $m>o$ , potrei chiedermi quando sia valida la condizione $x!=m$ , e potrei rispondermi con "sempre" dato che ragionando per assurdo, se x fosse uguale ad m, avrei un numero positivo maggiore del suo doppio, cosa impossibile. Quindi la risposta è sempre.
Stesso ragionamento farei per la condizione $x!=3m$.
Per quanto riguarda il secondo caso invece, con $m<0$, il ragionamento non fila (almeno non nella MIA testa!!). Mi potrei chiedere quando sia valida la condizione $x!=m$, e potrei rispondermi con "mai" dato che ragionando per assurdo, se x fosse uguale ad m, un numero negativo sarebbe maggiore del suo doppio, cosa accettabilissima (es $-3> -6$ ); sembrerebbe quindi che per verificare la condizione $x>2m$ , debba essere proprio $x=m$ .
Perché l'insieme di definizione è $x!=m$ ?
In parole povere...se prima ho risposto "sempre" a quella domanda...ed è risultato valido tutto R, ora, avendo risposto "mai"...non dovrebbe risultare "insieme vuoto"?????
Evidentemente mi pongo le domande sbagliate e/o mi dò le risposte errate.
Spero di essere stato chiaro e di non esser parso troppo....ignorante!
Grazie!
Per quanto riguarda il primo caso, con $m>o$ , potrei chiedermi quando sia valida la condizione $x!=m$ , e potrei rispondermi con "sempre" dato che ragionando per assurdo, se x fosse uguale ad m, avrei un numero positivo maggiore del suo doppio, cosa impossibile. Quindi la risposta è sempre.
Stesso ragionamento farei per la condizione $x!=3m$.
Per quanto riguarda il secondo caso invece, con $m<0$, il ragionamento non fila (almeno non nella MIA testa!!). Mi potrei chiedere quando sia valida la condizione $x!=m$, e potrei rispondermi con "mai" dato che ragionando per assurdo, se x fosse uguale ad m, un numero negativo sarebbe maggiore del suo doppio, cosa accettabilissima (es $-3> -6$ ); sembrerebbe quindi che per verificare la condizione $x>2m$ , debba essere proprio $x=m$ .
Perché l'insieme di definizione è $x!=m$ ?
In parole povere...se prima ho risposto "sempre" a quella domanda...ed è risultato valido tutto R, ora, avendo risposto "mai"...non dovrebbe risultare "insieme vuoto"?????
Evidentemente mi pongo le domande sbagliate e/o mi dò le risposte errate.
Spero di essere stato chiaro e di non esser parso troppo....ignorante!
Grazie!
no, la seconda volta non rispondi "mai". è più semplice rispondere al contrario: quando è x=m ? e la risposta è una ripetizione, quando x=m, non mai.
quindi non è sempre il contrario: non è sempre $x!=m$, significa che può essere anche $x=m$, non che è sempre $x=m$ (altrimenti dovresti escludere tutti i valori...). devi escludere $x=m$ perché annulla il denominatore, perché $m>2m$ se $m<0$.
fai la prova con qualche numero. se $m=-3$, allora $2m=-6$, e risulta $-3> -6$, cioè $m>2m$.
analogamente per l'altro caso.
non ti abbattere e prova a riflettere. ciao.
quindi non è sempre il contrario: non è sempre $x!=m$, significa che può essere anche $x=m$, non che è sempre $x=m$ (altrimenti dovresti escludere tutti i valori...). devi escludere $x=m$ perché annulla il denominatore, perché $m>2m$ se $m<0$.
fai la prova con qualche numero. se $m=-3$, allora $2m=-6$, e risulta $-3> -6$, cioè $m>2m$.
analogamente per l'altro caso.
non ti abbattere e prova a riflettere. ciao.
vorrei chiedere in merito all'argomento $|x-2m|+m!=0$
$|x-2m|!=-m$ per $m>0$ sempre verificata per definizione di valore assoluto . un valore assoluto non può essere negativo . di questo sono abbastanza sicuro
se $m<0$ devo discutere il valore assoluto sempre positivo affinchè risulti diverso da un valore positivo . non capisco però perchè salti fuori questo $x-2m!=+-m$
mi spiegate per cortesia ?
ps: dunque il modulo si comporta come una disequazione di 2° grado , ma con grafici lineari ... quindi quel $!=$ mi rappresenta il fatto che essendo denominatore non posso avere un $>=$ ma solo i due simboli $<$ e $>$ , sintetizzati nel simbolo $!=$ ... sono in errore ?
$|x-2m|!=-m$ per $m>0$ sempre verificata per definizione di valore assoluto . un valore assoluto non può essere negativo . di questo sono abbastanza sicuro
se $m<0$ devo discutere il valore assoluto sempre positivo affinchè risulti diverso da un valore positivo . non capisco però perchè salti fuori questo $x-2m!=+-m$
mi spiegate per cortesia ?
ps: dunque il modulo si comporta come una disequazione di 2° grado , ma con grafici lineari ... quindi quel $!=$ mi rappresenta il fatto che essendo denominatore non posso avere un $>=$ ma solo i due simboli $<$ e $>$ , sintetizzati nel simbolo $!=$ ... sono in errore ?
non ricordo di avere scritto $|x-2m| != +-m$, però chiunque avesse impostato il discorso come hai appena fatto tu da $|x-2m|+m != 0$ avrebbe concluso in quel modo se prima non avesse fatto la distinzione tra m positivo e m negativo.
se m<0, |x-2m|=-m (>0)può succedere con $x-2m=+-m$, e quindi entrambi i valori vanno esclusi.
non so se ho risposto alla domanda. spero sia chiaro. ciao.
se m<0, |x-2m|=-m (>0)può succedere con $x-2m=+-m$, e quindi entrambi i valori vanno esclusi.
non so se ho risposto alla domanda. spero sia chiaro. ciao.
ho consultato la documentazione "linkata" da amelia
oggi mi sono fatto spiegare meglio la cosa da un mio ex professore di mate . anche lui non ha ben capito il mio discorso di analogia con le disequazioni .
ragionandoci su ho capito graficamente il senso di tale funzione , e cioè : il modulo $y=|x-2m|$ intersecato con la retta $y=+m$ genera due punti . la funzione si annulla (e quindi smette di esistere) in tali punti , e come tali vanno esclusi dal dominio . io mi fermo qui , perchè oltre (insiemi di continuità e derivabilità) non saprei andare . quando inizierò bene funzioni e limiti (prox settimana) mi rifarò sotto
ciao
oggi mi sono fatto spiegare meglio la cosa da un mio ex professore di mate . anche lui non ha ben capito il mio discorso di analogia con le disequazioni .
ragionandoci su ho capito graficamente il senso di tale funzione , e cioè : il modulo $y=|x-2m|$ intersecato con la retta $y=+m$ genera due punti . la funzione si annulla (e quindi smette di esistere) in tali punti , e come tali vanno esclusi dal dominio . io mi fermo qui , perchè oltre (insiemi di continuità e derivabilità) non saprei andare . quando inizierò bene funzioni e limiti (prox settimana) mi rifarò sotto
ciao
non dire "la funzione si annulla (e quindi smette di esistere) in tali punti" perché non è la stessa cosa. casomai si annulla il denominatore e quindi non è definita la funzione...
per l'analogia con le disequazioni si suggerirei di confrontare $y=|x|$ e $y=x^2$ e ancora $y=|x^2-1|$ e $y=x^2-1$. ciao.
per l'analogia con le disequazioni si suggerirei di confrontare $y=|x|$ e $y=x^2$ e ancora $y=|x^2-1|$ e $y=x^2-1$. ciao.
$y=|x^2-1|$ ha 2 minimi situati sull'asse delle ascisse $y=0$ nei punti $A(-1,0)$ $B(1,0)$ , asse di simmetria $x=0$ cioè l'asse delle ordinate , vertice in $V(0,1)$. dominio per ogni x appartenente ai reali , codominio per ogni x appartenente ai reali diversa da -1 e 1 .
$y=x^2-1$ ha vertice $V(0,-1)$ , asse di simmetria $y=0$ , dominio per ogni x appartenente ai reali , codominio per ogni $x>=-1$
... come analogia le seconde due non calzano proprio a pennello ...
possiamo dire che il modulo ad incognita di 1° grado si comporta come una disequazione di 2° grado
vabbè , buona domenica
$y=x^2-1$ ha vertice $V(0,-1)$ , asse di simmetria $y=0$ , dominio per ogni x appartenente ai reali , codominio per ogni $x>=-1$
... come analogia le seconde due non calzano proprio a pennello ...
possiamo dire che il modulo ad incognita di 1° grado si comporta come una disequazione di 2° grado
vabbè , buona domenica
buona domenica anche a te.
l'eventuale analogia doveva essere confermata o smentita da te, in riferimento all'idea espressa da te e, a quanto pare, non ben capita nemmeno dal tuo prof...
l'eventuale analogia doveva essere confermata o smentita da te, in riferimento all'idea espressa da te e, a quanto pare, non ben capita nemmeno dal tuo prof...
il punto critico è quello per cui si annulla l'argomento del valore assoluto
E' sempre vera questa affermazione?
sì e no. è vero che lo è potenzialmente, e quindi va verificato. ci possono naturalmente essere altri punti critici, ma non con funzioni particolarmente semplici.
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