Insieme Coppia
Eccomi qui di nuovo dopo aver fatto il salto della quaglia dall'altra sezione 
Giusto una conferma su una "descrizione" trovata su un libro
"Si chiama coppia un insieme formato da due soli elementi distinti".
La mia domanda è: l'uso di "elementi distinti" è obbligatorio o basterebbe solo "elementi"?
Visto che si parla di elementi di un insieme, l'essere distinto da un altro dovrebbe essere già un prerequisito dell'essere elemento. Sbaglio?
Grazie
Giusto una conferma su una "descrizione" trovata su un libro
"Si chiama coppia un insieme formato da due soli elementi distinti".
La mia domanda è: l'uso di "elementi distinti" è obbligatorio o basterebbe solo "elementi"?
Visto che si parla di elementi di un insieme, l'essere distinto da un altro dovrebbe essere già un prerequisito dell'essere elemento. Sbaglio?
Grazie
Risposte
Secondo me il termine coppia sottende il concetto di ordine, per quello la definizione parla della possibilità di distinguere gli elementi, pertanto nella coppia $(a,a)$ si distinguono i due elementi per la posizione che occupano, anche se sono la stessa lettera "$a$"
mmm … no, non credo, infatti quando si intende quello che dici tu si parla sempre di "coppia ordinata", l'aggettivo viene sempre messo … in generale l'utilizzo della parola "coppia" non implica l'ordine …
Penso che l'aggettivo "distinti" sia solo un rafforzativo, pleonastico (quando si parla di elementi di un insieme) … IMHO
Cordialmente, Alex
Penso che l'aggettivo "distinti" sia solo un rafforzativo, pleonastico (quando si parla di elementi di un insieme) … IMHO
Cordialmente, Alex
Grazie ad entrambi. Si, la coppia non era intesa come ordinata ma due elementi semplici.
Buonanotte
Buonanotte
"axpgn":
Penso che l'aggettivo "distinti" sia solo un rafforzativo, pleonastico (quando si parla di elementi di un insieme) … IMHO
Certo.
"axpgn":
quando si intende quello che dici tu si parla sempre di "coppia ordinata"
Ieri sera (cioè, stamattina) ero un tantino rintronato (non che di solito sia tanto meglio
), però avevo spulciato su un paio di libri (anche se essendo fuori sede non ho potuto portare con me troppi libri, cioè più di quelli che mi servivano per i corsi) e di fatto ho notato che la parola ordinata va spesso assieme a quella di coppia.Ad esempio sul Lang (albegra lineare ed. Bollati Boringhieri), al capitolo 1, p.12 scrive "Una coppia (ordinata) di numeri $(x,y)$ può essere adoperata per rappresentare un punto di un piano". Notare che mette la parola tra parentesi, e fa la stessa cosa a p. 15 e poi a p.35. Da quel punto in poi apparentemente sopprime il termine del tutto.
Lo Smirnov (Corso di matematica, volume I, editori riuniti, III edizione: marzo 2000) addirittura la omette proprio a p. 23 dove sta scritto "a ogni coppia di valori delle grandezze $x,y$ corrisponde una posizione ben determinata del punto M nel piano. Inversamente, ad ogni punto M del piano corrisponde una coppia ben determinata di valori delle grandezze $x,y$ corrispondenti[...]".
Mi era sembrato ovvio che se la coppia non fosse stata ordintata, la posizione non poteva essere "ben determinata", e quindi ho scritto quanto sopra nella discussione, anche se potrebbe semplicemente essere una deviazione del traduttore, magari in lingua russa coppia ha già in se l'accezione di "coppia ordinata", e quindi il traduttore potrebbe non aver restituito pienamente questo tipo di finezze. Non lo so, non conosco il russo.
Da ultimo, per quanto posssa contare, anche la pagina wikipedia ha questo tipo di approccio in materia
https://it.wikipedia.org/wiki/Coppia_(matematica)
della definizione di coppia.
Perdonatemi questo onanismo dialettico, ma era tanto per dire che la mia risposta non era del tutto campata per aria, ho fatto le mie considerazioni prima di scrivere una cosa, che però di fatto, riconosco non essere una definizione generale, ma comunque legata a certi tipi di ambiti.
Buongiorno, ogni contributo, se giustificato, è ben acceetto Può sempre saltare fuori qualche idea o nozione nascosta, anche nelle cose più semplici.
Può sempre saltare fuori qualche idea o nozione nascosta, anche nelle cose più semplici.
Sono un po' perplessa.
La coppia $(a,a)$ è una coppia ordinata. Ma se scrivo, invece ${a,a}$ è una scrittura scorretta in quanto l'insieme è formato da un solo elemento, anche se l'ho scritto 2 volte, non è una coppia di elementi. Quando non si parla di ordinamento è fondamentale sottolineare che i due elementi debbano essere distinti. Quindi ${a,b}={b,a}$ e questa è una coppia di elementi non ordinata.
@ daniel: ci sono le parentesi tonde a individuare il concetto di ordine nella coppia.
La coppia $(a,a)$ è una coppia ordinata. Ma se scrivo, invece ${a,a}$ è una scrittura scorretta in quanto l'insieme è formato da un solo elemento, anche se l'ho scritto 2 volte, non è una coppia di elementi. Quando non si parla di ordinamento è fondamentale sottolineare che i due elementi debbano essere distinti. Quindi ${a,b}={b,a}$ e questa è una coppia di elementi non ordinata.
@ daniel: ci sono le parentesi tonde a individuare il concetto di ordine nella coppia.
"SirDanielFortesque":
... ma era tanto per dire che la mia risposta non era del tutto campata per aria, ...
Perdonami ma non ho detto questo, semplicemente ho un'opinione diversa
Per esempio, quando dici
"SirDanielFortesque":non è esatto perché nel momento in cui dai "un nome" agli elementi della coppia (cioè $x$ e $y$) e questi nomi sono associati a delle caratteristiche ben precise (vedi per esempio "asse delle $x$" e "asse delle $y$") allora la coppia è "ben determinata" (e di fatto pure ordinata senza che sia necessario usare l'aggettivo).
Mi era sembrato ovvio che se la coppia non fosse stata ordintata, la posizione non poteva essere "ben determinata", ...
Peraltro il mio intervento era solo per sottolineare che il termine "coppia" da solo non implica necessariamente "ordinata" ovvero se non si desume dal contesto è meglio stare sul generale.
E, se vuoi, questo è un discorso più ampio e più importante: mai assumere per certo ipotesi sottintese, lette tra le righe, non chiare, ecc.
È un errore comune, che facciamo in tanti; è possibile prendere per vero ipotesi non esplicitamente dichiarate ma solo come una delle possibilità non l'unica.
IMHO
Cordialmente, Alex
@melia: capito ma....se per appartenere ad un insieme, io oggetto, devo già essere distinto da un altro dello stesso insieme...perché ribadirlo? Già la nozione primitiva mi garantisce che, se ho un insieme, i suoi elementi sono di conseguenza distinti e distinguibili, altrimenti non avrei più un insieme. Erro?
Grazie.
Grazie.
In effetti @melia ha ragione. L'insieme \( \{a\} \) formato del solo elemento \( a \), è uguale a \( \{ a,a,a,\dots \} \). Un insieme è univocamente determinato dai suoi elementi.
Puoi assumere come primitivo il concetto di "coppia ordinata", imponendo che per due coppie ordinate \( (x,y) \), \( (x',y') \) sia \( (x,y)=(x',y') \) se e solo se \( x=x' \) e contemporaneamente \( y=y' \).
In set theory, la coppia ordinata \( (x,y) \) è (definita come) l'insieme \( \{ \{x\},\{x,y\} \} \). Verifica che la proprietà delle coppie ordinate vale per questo insieme.
Puoi assumere come primitivo il concetto di "coppia ordinata", imponendo che per due coppie ordinate \( (x,y) \), \( (x',y') \) sia \( (x,y)=(x',y') \) se e solo se \( x=x' \) e contemporaneamente \( y=y' \).
In set theory, la coppia ordinata \( (x,y) \) è (definita come) l'insieme \( \{ \{x\},\{x,y\} \} \). Verifica che la proprietà delle coppie ordinate vale per questo insieme.
"@melia":Non mai visto usare il termine coppia per indicare l'insieme \( \{x,y\} \), ma sicuramente è una cosa personale: occorrerebbe vedere in che contesto ha origine il dubbio di OP.
una coppia di elementi non ordinata.
No beh certo. Però Melia ha toccato un nodo fondamentale.
Secondo me $(a,a)$ è una coppia, ma se la scrivo come insieme ${a,a}$, conformemente alla definizione di David, cessa di esserlo, come fa notare Melia.
Del resto cosa distingue la prima $a$ dalla seconda, se non l'ordine in cui si trova nella coppia, che per l'appunto, a questo punto, ha diritto di chiamarsi ordinata dal momento che ho detto "prima" e "seconda". Però... saranno finezze.
In definitiva come si potrebbe riscrivere, ammesso che ve ne sia la necessità, la definizione di coppia per ricomprendere tutti i casi non ben definiti da questa che ha proposto David all'inizio?
Secondo me $(a,a)$ è una coppia, ma se la scrivo come insieme ${a,a}$, conformemente alla definizione di David, cessa di esserlo, come fa notare Melia.
Del resto cosa distingue la prima $a$ dalla seconda, se non l'ordine in cui si trova nella coppia, che per l'appunto, a questo punto, ha diritto di chiamarsi ordinata dal momento che ho detto "prima" e "seconda". Però... saranno finezze.
In definitiva come si potrebbe riscrivere, ammesso che ve ne sia la necessità, la definizione di coppia per ricomprendere tutti i casi non ben definiti da questa che ha proposto David all'inizio?
\( (a,a)=\{ \{a\},\{a,a\} \}\neq\{a,a\}=\{a\} \)
Da quanto scritto fino ad ora mi pongo un'altra domanda (e lo so, diventerò la croce anche della sezione Secondo grado ):
Un insieme così scritto ${a, a, a, a, a}$, per me non è un insieme come da nozione primitiva. Giusto?
):Un insieme così scritto ${a, a, a, a, a}$, per me non è un insieme come da nozione primitiva. Giusto?
@Sir
Io la vedo semplice: non fare mai assunzioni "a sentimento" ed usare tutte le parole che servono.
Io la vedo semplice: non fare mai assunzioni "a sentimento" ed usare tutte le parole che servono.
"marco2132k":
\( (a,a)=\{ \{a\},\{a,a\} \}\neq\{a,a\}=\{a\} \)
"axpgn":
@Sir
Io la vedo semplice: non fare mai assunzioni "a sentimento" ed usare tutte le parole che servono.
Va bene.
"DavidGnomo":
Un insieme così scritto ${a, a, a, a, a}$, per me non è un insieme come da nozione primitiva. Giusto?
No, si può scrivere anche così ma rimane uguale a ${a}$ e contiene un solo elemento (ha cardinalità $1$)
@axpgn: però sarebbe da evitare secondo me, può creare confusione anche se viene inteso come la singola scrittura ${a}$ Ma chi sono io per dirlO? eheheh. Grazie.
Ma chi sono io per dirlO? eheheh. Grazie.
Hai ragione, ma a volte anche 2 elementi uguali possono non essere immediatamente riconoscibili come uguali e uno li scrive entrambi, per poi scoprire che sono lo stesso elemento. Tipo $x_1=sqrt3$ e $x_2=3/sqrt3$
@melia: ma se fossi uno studente e dovessi scrivere un insieme con i due elementi (uguali) da te elencati mi sarebbe segnato come errore , giusto? Grazie.
@David
In verifica lasciare scritto come $x_2$ per la mia prof. era un $-0.25 pt$ scritto in rosso a fianco.
All'università queste cose non vengono minimamente calcolate.
Chiedi al tuo docente i criteri di correzione che adopera prima di fare il compito.
$ x_1=sqrt3 $ e $ x_2=3/sqrt3 $
In verifica lasciare scritto come $x_2$ per la mia prof. era un $-0.25 pt$ scritto in rosso a fianco.
All'università queste cose non vengono minimamente calcolate.
Chiedi al tuo docente i criteri di correzione che adopera prima di fare il compito.
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