Iniettività, suriettività e composizione di funzioni.
Ciao! Da quanto ho capito la composizione di due funzioni iniettive è iniettiva e la composizione di due funzioni suriettive è suriettiva, tutto ciò è molto semplice e intuitivo e riesco a 'trovare' moltissimi esempi.
Non riesco però a crearmi degli esempi concreti per la situazione 'ribaltata'. So che presa una funzione iniettiva h(x) = g(f(x)) è necessario che f(x) sia iniettiva, ma g(x) non deve esserlo necessariamente (analogamente, se h(x) è suriettiva g(x) deve essere suriettiva ma f(x) può non esserlo).
Potreste farmi qualche esempio di:
(1) composizione iniettiva con 'funzione più interna' (f) iniettiva e 'funzione più esterna' (g) non iniettiva;
(2) composizione surgettiva con f non surgettiva e g surgettiva;
e magari aiutarmi a capire *perché* alcune 'combinazioni' funzionano ed altre no?
Grazie mille ^^
Non riesco però a crearmi degli esempi concreti per la situazione 'ribaltata'. So che presa una funzione iniettiva h(x) = g(f(x)) è necessario che f(x) sia iniettiva, ma g(x) non deve esserlo necessariamente (analogamente, se h(x) è suriettiva g(x) deve essere suriettiva ma f(x) può non esserlo).
Potreste farmi qualche esempio di:
(1) composizione iniettiva con 'funzione più interna' (f) iniettiva e 'funzione più esterna' (g) non iniettiva;
(2) composizione surgettiva con f non surgettiva e g surgettiva;
e magari aiutarmi a capire *perché* alcune 'combinazioni' funzionano ed altre no?
Grazie mille ^^
Risposte
$f(x)=e^x$
$g(x)=x^2$
$g(f(x))=e^(2x)$
Trovata su Wiki ...
Cordialmente, Alex
$g(x)=x^2$
$g(f(x))=e^(2x)$
Trovata su Wiki ...
Cordialmente, Alex
Benvenuto al forum (vedo che è il tuo primo messaggio) e buona permanenza.
Che ne dici di $f(x)=x$ e $g(x)=cos(x)$? Avresti $g(f(x))=cos(f(x))=cos(x)$ non iniettiva.
$f(x)=cos(x)$ e $g(x)=x$ avresti $g(f(x))=cos(x)$ non surgettiva.
A dire il vero "surgettiva" in loco di suriettiva l'ho sentito solo dal prof di analisi 1 che, però, diceva anche bigettiva e ingettiva.
Beh, per i controesempi magari ci ho preso, ma a quest'ora dopo una giornata di lavoro meglio che evito di sfornare teoria e rimando ad altri mille utenti più freschi di me che saluto.
Facendo l'anteprima ho visto il post di axpgn che saluto.
"collocorto":
(1) composizione iniettiva con 'funzione più interna' (f) iniettiva e 'funzione più esterna' (g) non iniettiva;
Che ne dici di $f(x)=x$ e $g(x)=cos(x)$? Avresti $g(f(x))=cos(f(x))=cos(x)$ non iniettiva.
(2) composizione surgettiva con f non surgettiva e g surgettiva;
$f(x)=cos(x)$ e $g(x)=x$ avresti $g(f(x))=cos(x)$ non surgettiva.
A dire il vero "surgettiva" in loco di suriettiva l'ho sentito solo dal prof di analisi 1 che, però, diceva anche bigettiva e ingettiva.
e magari aiutarmi a capire *perché* alcune 'combinazioni' funzionano ed altre no?
Beh, per i controesempi magari ci ho preso, ma a quest'ora dopo una giornata di lavoro meglio che evito di sfornare teoria e rimando ad altri mille utenti più freschi di me che saluto.
Facendo l'anteprima ho visto il post di axpgn che saluto.
Ciao Zero ...
MI pare però che lui volesse qualcosa di diverso ... $f(x)$ iniettiva, $g(x)$ non iniettiva e $g(f(x))$ iniettiva e non mi pare che la tua funzioni ... o no?
MI pare però che lui volesse qualcosa di diverso ... $f(x)$ iniettiva, $g(x)$ non iniettiva e $g(f(x))$ iniettiva e non mi pare che la tua funzioni ... o no?
"axpgn":
$f(x)=e^x$
$g(x)=x^2$
$g(f(x))=e^(2x)$
Trovata su Wiki ...
Cordialmente, Alex
Avevo sbirciato anche io su Wikipedia
"Zero87":
[...] Beh, per i controesempi magari ci ho preso [...]
Sì (non avevo proprio pensato alle funzioni trigonometriche...
), ma mi sfugge proprio *perché* alcune funzioni iniettive vadano bene ed altre no!Ad esempio, prendendo g(x) = x^2n, dopo la composizione alcune funzioni iniettive 'rimangono iniettive' (es. a^x) mentre altre (es. y = x + k, y = x^(2n+1)) no. "Empiricamente" credo di aver capito che dipende non solo dall'iniettività di f(x), ma anche dal segno di f(x). Ad esempio, prendendo come f(x) "tutta" la retta y = 2x+1, quando compongo con g(x) = x^2 ottengo (2x+1)^2 che non è iniettiva. Se invece taglio via la parte negativa e considero solo la parte positiva di y = 2x+1 e compongo con x^2, ottengo una funzione iniettiva.
"axpgn":
Ciao Zero ...
MI pare però che lui volesse qualcosa di diverso ... $f(x)$ iniettiva, $g(x)$ non iniettiva e $g(f(x))$ iniettiva e non mi pare che la tua funzioni ... o no?
Ciao! Sì, infatti, ho preso $f$ iniettiva perché l'identità è iniettiva - per diversi $x$ restituisce... i diversi $x$ - mentre la $g$ è $cos(x)$ che non è iniettiva, tra l'altro pure periodica. Quindi a meno che a quest'ora non ricordo più le composizioni e quindi è meglio andare a dormire alla prossima pubblicità di zelig... ci ho preso, no?
Ma se non sono addormentato anch'io abbiamo che $g(x)=g(f(x))$ cioè la composta non è iniettiva, il contrario di quello che voleva lui ... o no?
"axpgn":
Ma se non sono addormentato anch'io abbiamo che $g(x)=g(f(x))$ cioè la composta non è iniettiva, il contrario di quello che voleva lui ... o no?
Calma calma, ho capito l'arcano. Avevo, infatti, capito che volesse un esempio in cui l'incrocio non fosse iniettivo, tutto qui.
Ora, comunque, ne ha due di esempi, uno non iniettivo e uno iniettivo e c'è solo l'imbarazzo della scelta quindi... buonanotte.
EDIT
Ho riletto meglio il primo post e ho frainteso completamente
... però magari è utile pure un esempio del contrario, no? 
Credo di essermi spiegato male
A me interessava capire *perché* (vedi messaggi precedenti) alcune volte la composizione di f iniettiva e g suriettiva è iniettiva e a volte no, una sorta di criterio "generale" indipendente dalla verifica caso per caso.
A me interessava capire *perché* (vedi messaggi precedenti) alcune volte la composizione di f iniettiva e g suriettiva è iniettiva e a volte no, una sorta di criterio "generale" indipendente dalla verifica caso per caso.
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