Iniettività e Surgettività di funzioni non elementari
Le funzioni elementari posso facilmente intuire se sono Iniettive o surgettive guardando il grafico, ma con funzioni come queste?? Non saprei nemmeno da voce cominciare sinceramente.
$ f(x)=4(x)^(2)-1999x+3 $
$ f(x)=arctan(|sinx+1| / 2 ) $
$ f(x)=4(x)^(2)-1999x+3 $
$ f(x)=arctan(|sinx+1| / 2 ) $
Risposte
Ricorda che la composizioni di funzioni iniettiva è iniettiva a sua volta. Inoltre puoi studiare la derivata per vedere se c'è monotonia stretta (che implica iniettività) o no. Prova questo metodo col primo esercizio. Per il secondo, la funzione $sin x $ è periodica quindi non iniettiva (a meno di non restringersi in un certo intervallo) e idem per l'arcotangente...
Per rispondere per bene a queste domande bisognerebbe comunque sapere in che intervalli lavori.
Prova intanto con questi suggerimenti e se hai difficoltà posta ancora.
Paola
Per rispondere per bene a queste domande bisognerebbe comunque sapere in che intervalli lavori.
Prova intanto con questi suggerimenti e se hai difficoltà posta ancora.
Paola
Senza considerare derivate e co., io il primo lo farei in questo modo; ma non sono ragionamenti rigorosi e non credo che vadano quindi bene, però te li scrivo lo stesso... Concedimi, per comodità di conti, di modificare appena la funzione.
Esercizio: data \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={4}{{\left({x}\right)}}^{{{2}}}-{16}{x}+{3} \) determinare se è iniettiva e/o suriettiva.
Svolgimento:
1. Iniettività.
Una funzione \( \displaystyle f(x):A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow B \subseteq \mathbb{R} \) è iniettiva se \( \displaystyle \forall x_1,x_2 \in A \), con \( \displaystyle x_1 \neq x_2, f(x_1) \neq f(x_2) \)
A questo punto, si potrebbe pensare questo: per negare il \( \displaystyle \forall \), si potrebbe far vedere che \( \displaystyle \exists \) \( \displaystyle x_1, x_2 \) per cui non vale quella relazione. Ma questo è semplice, perché il quadrato "non mantiene il segno", quindi basta prendere \( \displaystyle x_1, x_2: x_1 \neq x_2 \land |x_1| = |x_2| + 2 \), cioè da parti opposte del vertice della parabola, per vedere che si hanno valori uguali per le immagini della funzione! Dunque non è iniettiva. Per esempio, si prendano \( \displaystyle x_1 = 1, x_2 = 3 = 1 + 2\), si ha che \( \displaystyle f(x_1) = 4(1)^2 - 16(1) + 3 = -9 \) e
\( \displaystyle f(x_2) = f(x_1 + 2) = 4(1 + 2)^2 - 16(1 + 2) + 3 = -9 \).
2. Suriettività.
Se consideri come codominio tutto \mathbb{R}, allora la funzione non è suriettiva. Infatti, \(\exists y \in \mathbb{R}: f(x) \neq y \). Per esempio, l'equazione \( \displaystyle {4}{{\left({x}\right)}}^{{{2}}}-{16}{x}+{3} = -62 \) non ha soluzioni reali.
Esercizio: data \( \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={4}{{\left({x}\right)}}^{{{2}}}-{16}{x}+{3} \) determinare se è iniettiva e/o suriettiva.
Svolgimento:
1. Iniettività.
Una funzione \( \displaystyle f(x):A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow B \subseteq \mathbb{R} \) è iniettiva se \( \displaystyle \forall x_1,x_2 \in A \), con \( \displaystyle x_1 \neq x_2, f(x_1) \neq f(x_2) \)
A questo punto, si potrebbe pensare questo: per negare il \( \displaystyle \forall \), si potrebbe far vedere che \( \displaystyle \exists \) \( \displaystyle x_1, x_2 \) per cui non vale quella relazione. Ma questo è semplice, perché il quadrato "non mantiene il segno", quindi basta prendere \( \displaystyle x_1, x_2: x_1 \neq x_2 \land |x_1| = |x_2| + 2 \), cioè da parti opposte del vertice della parabola, per vedere che si hanno valori uguali per le immagini della funzione! Dunque non è iniettiva. Per esempio, si prendano \( \displaystyle x_1 = 1, x_2 = 3 = 1 + 2\), si ha che \( \displaystyle f(x_1) = 4(1)^2 - 16(1) + 3 = -9 \) e
\( \displaystyle f(x_2) = f(x_1 + 2) = 4(1 + 2)^2 - 16(1 + 2) + 3 = -9 \).
2. Suriettività.
Se consideri come codominio tutto \mathbb{R}, allora la funzione non è suriettiva. Infatti, \(\exists y \in \mathbb{R}: f(x) \neq y \). Per esempio, l'equazione \( \displaystyle {4}{{\left({x}\right)}}^{{{2}}}-{16}{x}+{3} = -62 \) non ha soluzioni reali.
E nei caso in cui mi vengano richiesti particolari intervalli?
Come procedere?
Come procedere?
La prima funzione che hai postato è una parabola, in $RR$ non è iniettiva né suriettiva, ma se prendi un pezzo che appartiene allo stesso ramo (tutto a destra o tutto a sinistra rispetto al vertice), allora non ci sono problemi e la funzione è iniettiva, se l'intervallo, invece, contiene il vertice come punto interno allora non lo è.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo