Info su un limite

[gabriello47]

Ho trovato in rete il seguente esercizio svolto:

$lim_{x->0_+}sin(x)*ln(x)$ $ =(sin(x)/x)*x*ln(x)=x*ln(x)=0$. L'ultimo passaggio non mi pare scontato. $x*ln(x)$ con $x->0_+$ è una forma indeterminata $0*\infty$. Con l'Hopital , in effetti, si arriva al risultato. Mi chiedevo se si può arrivare al risultato senza l'Hopital, ad es. con il limite notevole $ln(x+1)/x$.
Grazie

[giammaria2]

Sullo Zwirner-Scaglianti trovo (prima dell'Hospital)
$lim_(x->+oo)(ln x)/x=0$
a cui puoi ricondurre il tuo limite con la sostituzione $x=1/u$. La dimostrazione però non utilizza il secondo limite fondamentale ma si basa sul criterio del confronto e non è molto breve; questo mi induce a credere che non sia possibile una soluzione del tipo a cui pensi.
Sarei ben felice per un'eventuale smentita.

[gabriello47]

giammaria:Sullo Zwirner-Scaglianti trovo (prima dell'Hospital)
$lim_(x->+oo)(ln x)/x=0$
a cui puoi ricondurre il tuo limite con la sostituzione $x=1/u$. La dimostrazione però non utilizza il secondo limite fondamentale ma si basa sul criterio del confronto e non è molto breve; questo mi induce a credere che non sia possibile una soluzione del tipo a cui pensi.
Sarei ben felice per un'eventuale smentita.

Provo:
$lim_(x->0_+)(x*lnx)= lim x*(ln (1+x-1)/(x-1))*(x-1)=lim (x*(x-1))=0$
Può andare Giammaria?

[giammaria2]

Mi pare che non vada; se non capisco male tu hai ragionato
$lim_(x->0^+)((ln(1+x-1))/(x-1))=1$
che è falso; sarebbe vero per $x->1$.