Infinito su zero
Il rapporto infinito su zero è una forma indeterminata che si risolve con Hopital ?
Risposte
$\infty/0$ non è una forma indeterminata ...
"Noisemaker":
$\infty/0$ non è una forma indeterminata ...
Se si conoscono i segni di numeratore e denominatore.
"gugo82":
[quote="Noisemaker"]$\infty/0$ non è una forma indeterminata ...
Se si conoscono i segni di numeratore e denominatore.
[/quote]Vero!
Pero' Gugo direi che piu' che parlare di indeterminatezza in senso classico, si dovrebbe parlare di indeterminatezza in senso stretto, dal momento che,il numeratore avra' certamente un segno, mentre scrivere 0 a denominatore non ha molto senso in quella espressione, prendiamo ad esempio una funzione seno, o, all'opposto, una funzione modulo, nel primo caso non esiste il limite, nel secondo certamente si, a prescindere da qualsiasi altra considerazione che normalmente si assume nell'indagare le forme classiche di indeterminatezza. In questo senso, stretto, certamente una scrittura del genere e' indiscutibilmente indeterminata.
@ regim. Non capisco cosa vuoi dire: nella tendenza a zero anche il seno ha un segno. E' diverso a destra e a sinistra, ma questo può valere anche per l'infinito.
Ho qualche perplessità anche sulla frase di gugo82 "Se si conoscono i segni di numeratore e denominatore". Se non li si conoscono non si può dire il segno del risultato, ma è comunque $oo$; non è una risposta precisa al massimo, ma è pur sempre una risposta ammessa dai libri.
EDIT. Ripensandoci, la funzione può tendere a zero in modo oscillante, ed allora il limite non esiste: ad esempio il denominatore può essere $ esp(-1/|x|)*sen1/x$ (uso esp al posto di e^ perché altrimenti era quasi illeggibile; penso ad $x->0$). Probabilmente gugo82 intendeva questo.
Ho qualche perplessità anche sulla frase di gugo82 "Se si conoscono i segni di numeratore e denominatore". Se non li si conoscono non si può dire il segno del risultato, ma è comunque $oo$; non è una risposta precisa al massimo, ma è pur sempre una risposta ammessa dai libri.
EDIT. Ripensandoci, la funzione può tendere a zero in modo oscillante, ed allora il limite non esiste: ad esempio il denominatore può essere $ esp(-1/|x|)*sen1/x$ (uso esp al posto di e^ perché altrimenti era quasi illeggibile; penso ad $x->0$). Probabilmente gugo82 intendeva questo.
Aspetto eventuali smentite,
ma credo che Gugo volesse dire che una forma indeterminata è ogni caso in cui,
applicando la cosidetta l'algebra dei limiti,non è possibile a priori prevedere il comportamento della funzione argomento:
ad esempio,in questo contesto,
non è una forma indeterminata il $lim_(x to +oo)x/("sen"1/x)$,
perché il fatto che il denominatore della funzione argomento tenda a $0$ dalla sua destra permette d'affermare,
grazie ad un noto teorema,che essa diverge positivamente in un intorno di $+oo$
(e se è per questo,per motivi analoghi,pure in un intorno di $-oo$..),
mentre lo è il $lim_(x to 0)(e^(1/(|x|))/x$ in quanto ci sarà divergenza positiva se $x to 0^+$ e negativa qualora $x to 0^-$
(per trasformarlo in un'eventualità con "risposta certa" basta però poco,
ossia cambiare in $x^2$ il denominatore di quella funzione argomento ):
è però vero che essa,come ogni caso di quel tipo(compreso il bell'esempio di Gianmaria..),
è "infinitamente grande" intorno a $x_0=0$(nel senso che lo è il suo valore assoluto in un intorno completo di quel punto..),
e credo fosse questo il "senso stretto" del quale parlava regim.
Saluti dal web.
ma credo che Gugo volesse dire che una forma indeterminata è ogni caso in cui,
applicando la cosidetta l'algebra dei limiti,non è possibile a priori prevedere il comportamento della funzione argomento:
ad esempio,in questo contesto,
non è una forma indeterminata il $lim_(x to +oo)x/("sen"1/x)$,
perché il fatto che il denominatore della funzione argomento tenda a $0$ dalla sua destra permette d'affermare,
grazie ad un noto teorema,che essa diverge positivamente in un intorno di $+oo$
(e se è per questo,per motivi analoghi,pure in un intorno di $-oo$..),
mentre lo è il $lim_(x to 0)(e^(1/(|x|))/x$ in quanto ci sarà divergenza positiva se $x to 0^+$ e negativa qualora $x to 0^-$
(per trasformarlo in un'eventualità con "risposta certa" basta però poco,
ossia cambiare in $x^2$ il denominatore di quella funzione argomento
):è però vero che essa,come ogni caso di quel tipo(compreso il bell'esempio di Gianmaria..),
è "infinitamente grande" intorno a $x_0=0$(nel senso che lo è il suo valore assoluto in un intorno completo di quel punto..),
e credo fosse questo il "senso stretto" del quale parlava regim.
Saluti dal web.
@Gianmaria intendevo dire che, o tende a zero a segno alterno, oppure con lo stesso segno, se conosci le funzioni, non c'e' indeterminazione sul limite, o non esiste, come nel primo caso, o esiste, come nel secondo caso ed e' $\infty$ con segno oppurtuno. L'indeterminazione esiste solo perche' non conosci le funzioni, tutti qui, nei casi classici di indeterminazione, invece, la situazione richiede qualche considerazione in piu', pur conoscendo le funzioni, e ha quindi maggior senso porre la definizione di forma indeterminata, questo intendevo, niente di che! 
Non contestavo l'affermazione di Gugo conoscendo la sua competenza, solo una precisazione sulla leicita' di una definizione, in effetti e' indeterminata solo per una questione di segni.
Non contestavo l'affermazione di Gugo conoscendo la sua competenza, solo una precisazione sulla leicita' di una definizione, in effetti e' indeterminata solo per una questione di segni.
Io intendevo solo ricordare la seguente definizione, presente su tutti i libri o quasi; la copio dallo Zwirner-Scaglianti, sostituendo con puntini le solite frasi che conoscete:
"Si dice che ... $lim_(x->c)f(x)=oo$ quando ... $|f(x)|>M$ "
Secondo me, l'esempio fatto da theras rientra perfettamente nella definizione e quindi non è una forma indeterminata; solo, la risposta potrebbe essere più precisa.
"Si dice che ... $lim_(x->c)f(x)=oo$ quando ... $|f(x)|>M$ "
Secondo me, l'esempio fatto da theras rientra perfettamente nella definizione e quindi non è una forma indeterminata; solo, la risposta potrebbe essere più precisa.
@Gianmaria.
Me lo ricordo ancora quel libro,e la sua copertina viola nell'edizione per il IVº anno dei tecnici industriali,
perché è stato una sorta di primo amore:
lo trovai praticamente intonso,senza il nome del proprietario né la classe,
al termine del mio IIº anno sotto il banco,e ci passai ogni momento dell'Estate successiva libero da tutte le cose belle che riempiono quell'età
(compreso il "dolore" calcistico,che ancora ricordo come fosse ieri,dell'inopinata uscita del mio idolo su Caniggia,
che ci costò un mondiale di casa che avremmo meritato come mai nella storia sportiva della quale posso esser testimone..)!
Ottimo testo,per approcciare i primi rudimenti dell'Analisi,
ma oggi come allora
(vabbè,ai tempi l'idea era quella ma il linguaggio più "istintivo"..)
non mi torna una cosa del simbolismo cui ti riferisci
(sò che non ci sarebbe bisogno di specificarlo,ma la prudenza non è mai troppa e preferisco evidenziare che lo dico senza polemica ):
perché usare quella scrittura,che può far pensare all'esistenza d'un limite anche quando esso non esiste?
La questione non è secondaria,perché il fondamentale concetto in questione và introdotto con le molle a quell'età
(d'altronde su esso si basano secoli di Matematica,tanto che per una sua definizione formale,
e del concetto di continuità ad esso correlato,si son scomodate menti del calibro di Cauchy,
per gli amici "il ficcanaso universale",e Cantor..),
e senza creare potenziali dubbi che,a quell'altezza dell'apprendimento,sono rischiosi ancorché legittimi:
saluti dal web.
Me lo ricordo ancora quel libro,e la sua copertina viola nell'edizione per il IVº anno dei tecnici industriali,
perché è stato una sorta di primo amore:
lo trovai praticamente intonso,senza il nome del proprietario né la classe,
al termine del mio IIº anno sotto il banco,e ci passai ogni momento dell'Estate successiva libero da tutte le cose belle che riempiono quell'età
(compreso il "dolore" calcistico,che ancora ricordo come fosse ieri,dell'inopinata uscita del mio idolo su Caniggia,
che ci costò un mondiale di casa che avremmo meritato come mai nella storia sportiva della quale posso esser testimone..)!
Ottimo testo,per approcciare i primi rudimenti dell'Analisi,
ma oggi come allora
(vabbè,ai tempi l'idea era quella ma il linguaggio più "istintivo"..)
non mi torna una cosa del simbolismo cui ti riferisci
(sò che non ci sarebbe bisogno di specificarlo,ma la prudenza non è mai troppa e preferisco evidenziare che lo dico senza polemica
): perché usare quella scrittura,che può far pensare all'esistenza d'un limite anche quando esso non esiste?
La questione non è secondaria,perché il fondamentale concetto in questione và introdotto con le molle a quell'età
(d'altronde su esso si basano secoli di Matematica,tanto che per una sua definizione formale,
e del concetto di continuità ad esso correlato,si son scomodate menti del calibro di Cauchy,
per gli amici "il ficcanaso universale",e Cantor..),
e senza creare potenziali dubbi che,a quell'altezza dell'apprendimento,sono rischiosi ancorché legittimi:
saluti dal web.
Sul perché usarla potrei dire solo la mia personale opinione, di scarsissima rilevanza. E' invece rilevante il fatto che ho controllato su altri tre testi liceali nonché su quello che usavo all'università (Tricomi): su tutti figura quella definizione, insieme a quelle in cui l'infinito ha un segno. Mi sembra quindi lecito accettarla.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo