Infinito campione e ordine di infinito
Ciao a tutti sono nuovo e non sò se questa è la sezione giusta, dovrei fare qualche esercizio sugli infini campione per esercitarmi però il libro non è molto chiaro e con pochi esempi, quindi non sono sicuro di aver capito bene come svolgerli quindi chiedo a qualcuno con molta pazienza se può aiutarmi a capire come svolgerli.
Se ho capito bene quando c'è $lim_(x->0)f(x)$ si ricava l'ordine di infinito risolvendo $lim_(x->0)f(x)/(1/x^a)$ che deve essere finito e diverso da 0
Nel caso invece fosse $lim_(x->oo)f(x)$ si ricava l'ordine di infinito risolvendo $lim_(x->0)f(x)/x^a$ che deve essere finito e diverso da 0. A questo punto però già ho un dubbio è indifferente che il limite tenda a +oo o a -oo e quindi si procede sempre allo stesso modo o in modo diverso a seconda del segno? oppure dipende da $f(x)$? e se si ad esempio in quali casi?
Ora se è questo il metodo non ci dovrebbero essere problemi per le funzioni semplici, invece ho qualche problema con le funzioni trigonometriche ad esempio:
$lim_(x->0)sen(x)$ ---> $lim_(x->0)(x^a)*sen(x)$ come faccio a trovare l'ordine di infinito? stessa cosa se fosse stato $cos(x)$ o $tan(x)$. Forse nel caso del $senx$ e $tanx$ si pone a = -1 per risalire al limite notevole ma si può fare? esistono anche gli ordini di infinito negativi? e comunque rimane sempre il caso di $cosx$
Praticamente quando mi trovo x^a che moltiplica una funzione trigonometrica o un logaritmo non sò come svolgerlo se non trovo il relativo limite notevole, io infatti dovrei svolgere un esercizio del genere
$lim_(x->0)log[1+sqrt(3x)]*tan(2x)$ ---> $lim_(x->0){log[1+sqrt(3x)]*tan(2x)}/(1/x^a)$ ---> $lim_(x->0)(x^a)*log[1+sqrt(3x)]*tan(2x)$ a questo punto non sò più continuare, come faccio a trovare l'ordine di infinito?
Se ho capito bene quando c'è $lim_(x->0)f(x)$ si ricava l'ordine di infinito risolvendo $lim_(x->0)f(x)/(1/x^a)$ che deve essere finito e diverso da 0
Nel caso invece fosse $lim_(x->oo)f(x)$ si ricava l'ordine di infinito risolvendo $lim_(x->0)f(x)/x^a$ che deve essere finito e diverso da 0. A questo punto però già ho un dubbio è indifferente che il limite tenda a +oo o a -oo e quindi si procede sempre allo stesso modo o in modo diverso a seconda del segno? oppure dipende da $f(x)$? e se si ad esempio in quali casi?
Ora se è questo il metodo non ci dovrebbero essere problemi per le funzioni semplici, invece ho qualche problema con le funzioni trigonometriche ad esempio:
$lim_(x->0)sen(x)$ ---> $lim_(x->0)(x^a)*sen(x)$ come faccio a trovare l'ordine di infinito? stessa cosa se fosse stato $cos(x)$ o $tan(x)$. Forse nel caso del $senx$ e $tanx$ si pone a = -1 per risalire al limite notevole ma si può fare? esistono anche gli ordini di infinito negativi? e comunque rimane sempre il caso di $cosx$
Praticamente quando mi trovo x^a che moltiplica una funzione trigonometrica o un logaritmo non sò come svolgerlo se non trovo il relativo limite notevole, io infatti dovrei svolgere un esercizio del genere
$lim_(x->0)log[1+sqrt(3x)]*tan(2x)$ ---> $lim_(x->0){log[1+sqrt(3x)]*tan(2x)}/(1/x^a)$ ---> $lim_(x->0)(x^a)*log[1+sqrt(3x)]*tan(2x)$ a questo punto non sò più continuare, come faccio a trovare l'ordine di infinito?
Risposte
Ci si chiede l'ordine di infinito solo quando una funzione tende ad infinito e nei tuoi ultimi due esempi questo non succede: il primo è una funzione periodica e non tende a niente, il secondo tende a 0. Al massimo puoi chiederti di che ordine è lo zero (il metodo è lo stesso dell'infinito, ma scambiando fra loro i due casi di zero e infinito). Calcoli quindi
$\lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))/(x^\alpha)=lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]/x^(\alpha-1)*(tan(2x))/x)$
L'ultima frazione tende a 2 e la prima si calcola faclmente col teorema dell'Hospital.
Per la domanda sui due infiniti: è senz'altro possibile che diano risultati diversi, quindi vanno calcolati separatamente; se la funzione è facile, si può però prevedere fin da subito se i due calcoli saranno identici o no e agire in conseguenza.
$\lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))/(x^\alpha)=lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]/x^(\alpha-1)*(tan(2x))/x)$
L'ultima frazione tende a 2 e la prima si calcola faclmente col teorema dell'Hospital.
Per la domanda sui due infiniti: è senz'altro possibile che diano risultati diversi, quindi vanno calcolati separatamente; se la funzione è facile, si può però prevedere fin da subito se i due calcoli saranno identici o no e agire in conseguenza.
"giammaria":
Ci si chiede l'ordine di infinito solo quando una funzione tende ad infinito e nei tuoi ultimi due esempi questo non succede: il primo è una funzione periodica e non tende a niente
Questo è ok, in effetti ragionandoci, se non tende ad infinito è assurdo dover calcolare quanto rapidamente tende ad infinito...
Al massimo puoi chiederti di che ordine è lo zero (il metodo è lo stesso dell'infinito, ma scambiando fra loro i due casi di zero e infinito).
Questo passaggio non l'ho capito, che intendi per ordine dello zero? e cosa intendio per scambiare i due casi di zero e infinito?
Calcoli quindi
$\lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))/(x^\alpha)=lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]/x^(\alpha-1)*(tan(2x))/x)$
L'ultima frazione tende a 2 e la prima si calcola faclmente col teorema dell'Hospital.
Per la domanda sui due infiniti: è senz'altro possibile che diano risultati diversi, quindi vanno calcolati separatamente; se la funzione è facile, si può però prevedere fin da subito se i due calcoli saranno identici o no e agire in conseguenza.
Scusa ma se il limite è per x---> 0 non si dovrebbe risolvere con $\lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))/[1/(x^\alpha)]$ mentre dovrei fare come hai scritto tu se fosse stato x ---> oo o non ho capito nulla? uff mi sono ancora più confuso, mi puoi aiutare please?
Mettiamo un po' d'ordine. Ripeto un po' ciò che dice gianmaria. Data una funzione $f$ vuoi valutare l'ordine di infinitesimo per $x\to x_0$. Innanzitutto deve essere
(*) $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$.
Se la funzione non va a $0$ non ha senso capire quanto veloce va a zero!
Tieni conto che $x_0$ può essere un numero reale qualsiasi o anche $\pm\infty$. Una volta che ti sei accertato che vale (*) allora puoi iniziare a capire l'ordine di infinitesimo, confrontando con l'infinitesimo campione che è $g(x)=|x-x_0|$ se $x_0\in RR$ ed è $g(x)=\frac{1}{|x|}$ se $x_0=\pm\infty$. Come si valuta quest'ordine? Valuti se esiste un $\alpha$ tale $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha}$ esiste ed è un numero reale non nullo. Il numero $\alpha$, se esiste, è appunto l'ordine dello zero oppure ordine di infinitesimo.
Analogo discorso per gli infiniti: innanzitutto deve essere
(**) $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$.
Anche in questo caso $x_0$ può essere un numero reale qualsiasi o anche $\pm\infty$. Una volta che ti sei accertato che vale (**), puoi iniziare a capire l'ordine di infinito, confrontando con l'infinito campione che è $g(x)=\frac{1}{|x-x_0|}$ se $x_0\in RR$ ed è $g(x)=|x|$ se $x_0=\pm\infty$. Come si valuta quest'ordine? Valuti se esiste un $\alpha$ tale $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha}$ esiste ed è un numero reale non nullo.
Nel tuo caso $f(x)=(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))$ per $x\to 0$ è infinitesima o infinita?
Una volta appurato ciò, puoi confrontare con il campione e trovare, se esiste, $\alpha$.
(*) $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$.
Se la funzione non va a $0$ non ha senso capire quanto veloce va a zero!
Tieni conto che $x_0$ può essere un numero reale qualsiasi o anche $\pm\infty$. Una volta che ti sei accertato che vale (*) allora puoi iniziare a capire l'ordine di infinitesimo, confrontando con l'infinitesimo campione che è $g(x)=|x-x_0|$ se $x_0\in RR$ ed è $g(x)=\frac{1}{|x|}$ se $x_0=\pm\infty$. Come si valuta quest'ordine? Valuti se esiste un $\alpha$ tale $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha}$ esiste ed è un numero reale non nullo. Il numero $\alpha$, se esiste, è appunto l'ordine dello zero oppure ordine di infinitesimo.
Analogo discorso per gli infiniti: innanzitutto deve essere
(**) $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$.
Anche in questo caso $x_0$ può essere un numero reale qualsiasi o anche $\pm\infty$. Una volta che ti sei accertato che vale (**), puoi iniziare a capire l'ordine di infinito, confrontando con l'infinito campione che è $g(x)=\frac{1}{|x-x_0|}$ se $x_0\in RR$ ed è $g(x)=|x|$ se $x_0=\pm\infty$. Come si valuta quest'ordine? Valuti se esiste un $\alpha$ tale $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha}$ esiste ed è un numero reale non nullo.
Nel tuo caso $f(x)=(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))$ per $x\to 0$ è infinitesima o infinita?
Una volta appurato ciò, puoi confrontare con il campione e trovare, se esiste, $\alpha$.
"cirasa":
Mettiamo un po' d'ordine. Ripeto un po' ciò che dice gianmaria. Data una funzione $f$ vuoi valutare l'ordine di infinitesimo per $x\to x_0$. Innanzitutto deve essere
(*) $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$.
Se la funzione non va a $0$ non ha senso capire quanto veloce va a zero!
Tieni conto che $x_0$ può essere un numero reale qualsiasi o anche $\pm\infty$. Una volta che ti sei accertato che vale (*) allora puoi iniziare a capire l'ordine di infinitesimo, confrontando con l'infinitesimo campione che è $g(x)=|x-x_0|$ se $x_0\in RR$ ed è $g(x)=\frac{1}{|x|}$ se $x_0=\pm\infty$. Come si valuta quest'ordine? Valuti se esiste un $\alpha$ tale $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha}$ esiste ed è un numero reale non nullo. Il numero $\alpha$, se esiste, è appunto l'ordine dello zero oppure ordine di infinitesimo.
Analogo discorso per gli infiniti: innanzitutto deve essere
(**) $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$.
Anche in questo caso $x_0$ può essere un numero reale qualsiasi o anche $\pm\infty$. Una volta che ti sei accertato che vale (**), puoi iniziare a capire l'ordine di infinito, confrontando con l'infinito campione che è $g(x)=\frac{1}{|x-x_0|}$ se $x_0\in RR$ ed è $g(x)=|x|$ se $x_0=\pm\infty$. Come si valuta quest'ordine? Valuti se esiste un $\alpha$ tale $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha}$ esiste ed è un numero reale non nullo.
Nel tuo caso $f(x)=(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))$ per $x\to 0$ è infinitesima o infinita?
Una volta appurato ciò, puoi confrontare con il campione e trovare, se esiste, $\alpha$.
Ottima spiegazione ora penso di aver capito ecco perchè sbagliavo!
$f(x)=(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))$ per $x\to 0$ è infinitesima e quindi come mi ha suggerito giammaria $\lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))/(x^\alpha)=lim_(x->0^+)(log[1+sqrt(3x)]/x^(\alpha-1)*(tan(2x))/x)$ e credo che sia cos+ perchè la seconda è 2 per via del limite notevole, vero? ora per de hospital devo fare la derivata di una fratta
$b(x) = (log[1+sqrt(3x)]
$b'(x) = 3/[2sqrt(3x)]$
$d(x) = x^(a-1)
$d'(x) = (a-1)(x)^(a-1)
da cui
$[3/[2sqrt(3x)]*(x)^(a-1)-(a-1)*(x)^(a-1)*(x)^-1*log(1+sqrt(3x))]/(x)^(2a-2)
$3/[2sqrt(3x)]$ ---> $sqrt(3x)/(2x)$
$[(x)^(-2)[sqrt(3x)/(2)-(a-1)log(1+sqrt(3x)]]/(x)^(2a-2)
$[(sqrt(3x)/(2))-(a-1)log(1+sqrt(3x))]/(x)^(a)$
ed ora come vado avanti?
Ricapitolando devi trovare $\alpha$ tale che $\lim_{x\to0^+}(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))/(x^\alpha)$ esiste, è finito ed è non nullo.
Calcoliamo separatamente
$\lim_{x\to0^+}\frac{log(1+sqrt{3x})}{x^{\alpha-1}}$
(l'altra parte del limite è facile)
Per usare il teorema di De L'Hopital per risolvere questo limite, non devi fare la derivata della funzione fratta ma del denominatore e del numeratore separatamente!
E in ogni caso occhio ai conti. Ci sono un paio di errori nel calcolo delle derivate dove scrivi:
Calcoliamo separatamente
$\lim_{x\to0^+}\frac{log(1+sqrt{3x})}{x^{\alpha-1}}$
(l'altra parte del limite è facile)
"Marco10":
ora per de hospital devo fare la derivata di una fratta
Per usare il teorema di De L'Hopital per risolvere questo limite, non devi fare la derivata della funzione fratta ma del denominatore e del numeratore separatamente!
E in ogni caso occhio ai conti. Ci sono un paio di errori nel calcolo delle derivate dove scrivi:
"Marco10":
$b(x) = (log[1+sqrt(3x)]
$b'(x) = 3/[2sqrt(3x)]$
$d(x) = x^(a-1)
$d'(x) = (a-1)(x)^(a-1)
"cirasa":
Ricapitolando devi trovare $\alpha$ tale che $\lim_{x\to0^+}(log[1+sqrt(3x)]*tan(2x))/(x^\alpha)$ esiste, è finito ed è non nullo.
Calcoliamo separatamente
$\lim_{x\to0^+}\frac{log(1+sqrt{3x})}{x^{\alpha-1}}$
(l'altra parte del limite è facile)
[quote="Marco10"]ora per de hospital devo fare la derivata di una fratta
Per usare il teorema di De L'Hopital per risolvere questo limite, non devi fare la derivata della funzione fratta ma del denominatore e del numeratore separatamente!
E in ogni caso occhio ai conti. Ci sono un paio di errori nel calcolo delle derivate dove scrivi:
"Marco10":[/quote]
$b(x) = (log[1+sqrt(3x)]
$b'(x) = 3/[2sqrt(3x)]$
$d(x) = x^(a-1)
$d'(x) = (a-1)(x)^(a-1)
Ho rifatto le derivate e ora mi viene
$b(x) = (log[1+sqrt(3x)]
$b'(x) = 3/[2sqrt(3x)]$
$d(x) = x^(a-1)
$d'(x) = (a-1)(x)^(a-2)
$lim_(h->0)3/[(2sqrt(3x))[(a-1)(x) ^(a-2)]$
$lim_(h->0)sqrt(3x)/[(2x)[(a-1)(x) ^(a-2)]$
ma a questo punto tengo sempre quel $2x$ che mi annulla il denominatore....come faccio a trovarmi un valore finito?
Oltre a quello che non riesco a continuare, per vedere se ho davvero capito ho fatto questi due esercizi puoi dirmi se sono corretti?
1) $lim_(x->0)2x+log(1+x^2)$
è un infinitesimo
$lim_(x->0)(2x+log(1+x^2))/x^a$
applico anche qui De Hopital perchè è una forma indeterminata $0/0$
$t = log(1+x^2)$
$t' = (2x)/(1+x^2)$
$lim_(x->0)(2+(2x)/(1+x^2))/(a(x)^(a-1))$
$lim_(x->0)(2+(2x)^2+2x)/((1+x^2)(a(x)^(a-1))$
a questo punto se pongo $a=1$
$lim_(x->0)(2+(2x)^2+2x)/((1+x^2)$
andando a sostituire $x=0$ il limite mi viene 2
2)$lim_(x->+oo)sqrt(2x+4x^2) - sqrt(x)$
è un infinito
$lim_(x->+oo)(sqrt(2x+4x^2) - sqrt(x))/x^a$
pongo $a=1$
$lim_(x->+oo)(sqrt(2x+4x^2) - sqrt(x))/sqrt(x^2)$
$lim_(x->+oo)(sqrt(2x+4x^2)/sqrt(x^2)) - (sqrt(x))/sqrt(x^2)$
$lim_(x->+oo)(4x^2)/x^2 = 4$ (la seconda frazione è 0)
1) $lim_(x->0)2x+log(1+x^2)$
è un infinitesimo
$lim_(x->0)(2x+log(1+x^2))/x^a$
applico anche qui De Hopital perchè è una forma indeterminata $0/0$
$t = log(1+x^2)$
$t' = (2x)/(1+x^2)$
$lim_(x->0)(2+(2x)/(1+x^2))/(a(x)^(a-1))$
$lim_(x->0)(2+(2x)^2+2x)/((1+x^2)(a(x)^(a-1))$
a questo punto se pongo $a=1$
$lim_(x->0)(2+(2x)^2+2x)/((1+x^2)$
andando a sostituire $x=0$ il limite mi viene 2
2)$lim_(x->+oo)sqrt(2x+4x^2) - sqrt(x)$
è un infinito
$lim_(x->+oo)(sqrt(2x+4x^2) - sqrt(x))/x^a$
pongo $a=1$
$lim_(x->+oo)(sqrt(2x+4x^2) - sqrt(x))/sqrt(x^2)$
$lim_(x->+oo)(sqrt(2x+4x^2)/sqrt(x^2)) - (sqrt(x))/sqrt(x^2)$
$lim_(x->+oo)(4x^2)/x^2 = 4$ (la seconda frazione è 0)
Gli esercizi 1) e 2), se non sbaglio, dovrebbero essre giusti (solo nell'ultimo passaggio del secondo ci dovrebbe essere $\sqrt{4}$ e non $4$, ma la sostanza non cambia)
Per quanto riguarda l'esercizio iniziale:
$b(x) = log(1+sqrt{3x})
$b'(x) = \frac{1}{1+\sqrt{3x}}\frac{3}{2\sqrt{3x}}$
Quindi se non sbaglio i conti, con il teorema di De L'Hopital
$lim_{x\to0}\frac{3}{(1+\sqrt{3x})\sqrt{3x}2(a-1)x^{a-2}}=$
$\ \ =lim_{x\to 0}\frac{3}{2\sqrt{3}(1+\sqrt{3x})(a-1)}x^{-1/2+2-a}$
A questo punto qual è il valore di $a$ affinchè questo limite esiste ed è finito?
Per quanto riguarda l'esercizio iniziale:
$b(x) = log(1+sqrt{3x})
$b'(x) = \frac{1}{1+\sqrt{3x}}\frac{3}{2\sqrt{3x}}$
Quindi se non sbaglio i conti, con il teorema di De L'Hopital
$lim_{x\to0}\frac{3}{(1+\sqrt{3x})\sqrt{3x}2(a-1)x^{a-2}}=$
$\ \ =lim_{x\to 0}\frac{3}{2\sqrt{3}(1+\sqrt{3x})(a-1)}x^{-1/2+2-a}$
A questo punto qual è il valore di $a$ affinchè questo limite esiste ed è finito?
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