Infiniti e velocità

[HowardRoark]

Mi è sorto un dubbio riguardo gli infiniti. Tra i miei vecchi appunti ho scritto che $(log_a (x))^(alpha)
Però se, per estremizzare, prendo $(log_2 (x))^100$ vedo che va a + infinito molto più velocemente di $sqrt(x)$; tuttavia $lim_(x->+oo) ((log_2 (x))^100)/(sqrt(x))=0$, in concordanza con i miei appunti.
Come si può giustificare questo risultato alla luce dei grafici delle due funzioni?

[axpgn]

Che i grafici non provano niente (hanno dei limiti )

[HowardRoark]

"axpgn":Che i grafici non provano niente (hanno dei limiti )

quindi per valori di $x$ "infinitamente grandi" si ha $sqrt(x) > (ln_2(x))^100$?

[axpgn]

Prova con $x=10^700$

[HowardRoark]

"axpgn":Prova con $x=10^700$

Desmos mi dà "errore"
Sarebbe poi interessante capire come hai fatto a stabilire che, per $x=10^700$, la radice sia più grande di quel logaritmo

[axpgn]

Ho fatto due conti

È vero che i conti li ho fatti fare a Wolfram però erano proprio due ; fai un paio di supposizioni e poi li verifichi
Prova per esempio $16^550$ ma senza usare Desmos, semplifica

[HowardRoark]

"axpgn":Ho fatto due conti

È vero che i conti li ho fatti fare a Wolfram però erano proprio due ; fai un paio di supposizioni e poi li verifichi
Prova per esempio $16^550$ ma senza usare Desmos, semplifica

$(log_2(16^550))^100 < sqrt(16^550) => (log_2 (16^550))^100 < 16^275 => (log_2 (2^2200))^100 < 16^275 => 2200^100<16^275=> 2200^100 < 2^1100$

Vorrei trasformare quel $2200^100$ in una potenza con base $2$ ma non so come si faccia. O meglio, non credo si possa fare, il punto è che non riesco a confrontare questi 2 numeri terribilmente grandi

[axpgn]

Premesso che ho sbagliato e $16^550$ non va bene (prova con $16^600$ ma puoi anche esagerare ) in questi casi devi provare a maggiorare in modo astuto, per esempio $2200<2^12$ ma ancora meglio scomporlo e maggiorare i singoli fattori come $2^3, 5^2<2^5, 11<2^4$

[HowardRoark]

"axpgn":Premesso che ho sbagliato e $16^550$ non va bene

in effetti ho appena visto che la disuguaglianza è falsa

"axpgn":
in questi casi devi provare a maggiorare in modo astuto, per esempio $2200<2^12$ ma ancora meglio scomporlo e maggiorare i singoli fattori come $2^3, 5^2<2^5, 11<2^4$

sì ma anche scomponendo $2200$ in fattori hai $(2^3 * 5^2 *11)^100 < 2^1100$. Il confronto a cui pensi credo si possa fare se al secondo membro della disuguaglianza hai un esponente di 100, giusto?

[axpgn]

Il valore dell'incognita che ti serve lo scegli tu e quindi te lo scegli "comodo", la parte più "difficile" è trovarlo ( ) poi a quel punto te lo "aggiusti" come meglio ti aggrada.
Comunque il succo del discorso è che non puoi basarti sui grafici per una dimostrazione, possono trarre in inganno.

[@melia]

"axpgn": non puoi basarti sui grafici per una dimostrazione, possono trarre in inganno.

E su questo non ci piove.
Ma non puoi basarti sui grafici che sono sempre "al finito" per una verifica/controllo di cosa potrebbe succedere all'infinito.

[giammaria2]

Inutile scomodare potenti sistemi di calcolo: basta una normale calcolatrice scientifica.
Partendo da $sqrt(x) > (ln_2(x))^100$ ed estraendo la radice centesima, ottieni $x^(1/200)>log_2 x$. Con $x=10^700$ e trascurando le cifre dopo la virgola,
il primo membro vale $10^(700/200)=10^(3.5)=3162$
mentre il secondo vale $log_2 10^700=700 log_2 10=700/(log_10 2)=2325$

[HowardRoark]

"giammaria":Inutile scomodare potenti sistemi di calcolo: basta una normale calcolatrice scientifica.
Partendo da $sqrt(x) > (ln_2(x))^100$ ed estraendo la radice centesima, ottieni $x^(1/200)>log_2 x$. Con $x=10^700$ e trascurando le cifre dopo la virgola,
il primo membro vale $10^(700/200)=10^(3.5)=3162$
mentre il secondo vale $log_2 10^700=700 log_2 10=700/(log_10 2)=2325$

Bella verifica!