Induzione e disequazione
Potete aiutarmi a risolvere questo problema?
Applicando il principio di induzione, dimostrare che $AAninN$, con $n>=1$, si ha
$(1+a)^n>=1+na$, con $a> -1$ [1]
Innanzitutto verifico che la formula è valida per $n=1$:
$(1+a)^1>=1+a$, che è sempre vera.
Adesso ho bisogno del passo induttivo. Supponiamo vera la [1].
Moltiplico entrambi i membri della disequazione per $(1+a)$:
$(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$
$(1+a)^(n+1)>=1+a+na+na^2$
E adesso? Non mi trovo più. Infatti dovrei arrivare ad una disequazione del tipo $(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
Applicando il principio di induzione, dimostrare che $AAninN$, con $n>=1$, si ha
$(1+a)^n>=1+na$, con $a> -1$ [1]
Innanzitutto verifico che la formula è valida per $n=1$:
$(1+a)^1>=1+a$, che è sempre vera.
Adesso ho bisogno del passo induttivo. Supponiamo vera la [1].
Moltiplico entrambi i membri della disequazione per $(1+a)$:
$(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)$
$(1+a)^(n+1)>=1+a+na+na^2$
E adesso? Non mi trovo più. Infatti dovrei arrivare ad una disequazione del tipo $(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
Risposte
Ciao! Secondo me sei arrivato alla fine. Perché il termine $ na^2 $ è sicuramente positivo essendo positivo n e anche il quadrato, quindi quella somma è sicuramente maggiore di $ 1+(n+1)a $
nel senso che
$ (1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a $ e quindi è dimostrata!
nel senso che
$ (1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a $ e quindi è dimostrata!
Quella è comunque la disuguaglianza di Bernoulli.
Sì, è vero. Grazie mille
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