Individuare gli elementi uniti

[Whisper1]

Salve a tutti! [:)]

In questi giorni, trattando le trasformazioni lineari, non ho riscontrato particolari problemi se non quello di individuare gli elementi uniti, in particolare le rette.

Un esempio chiarirà meglio: detta S una simmetria centrale di centro C(1; 0), si ha che il generico punto P(x; y) viene trasformato in P'(-x + 2; -y). Ora, tralasciando il fatto che l'unico punto unito di una simmetria centrale è il centro di simmetria, in generale per trovare tutti i punti uniti è sufficiente risolvere il sistema formato dalle due equazioni seguenti:
{ x = -x + 2
{ y = -y
Ciò equivale ad imporre che P e la sua immagine P' siano, in realtà, lo stesso punto. Una prima domanda è: se è una retta è puntualmente unita (cioè, è luogo di punti uniti), la troverò con questo procedimento o col seguente?

Ragioniamo adesso sulle rette (globalmente) unite: sappiamo che, in una simmetria centrale, tutte le rette del fascio proprio in C, ma non curiamocene. Quale procedimento si adotta per individuare le rette unite?

La nostra professoressa ha proposto di definire un sistema composto da:
{ y' = mx' + q
{ x' = k
E di applicare la trasformazione diretta per ottenere le due rette trasformate:
{ y = mx - (2m + q)
{ x = -k + 2

Oltre questo punto non riesco ad andare: la spiegazione non mi è chiara e la ricerca su diversi libri di testo si è rivelata infruttuosa. Qualcuno potrebbe essere tanto gentile da spiegarmi il procedimento, anche solo teoricamente?

Aggiungo una seconda domanda a quella precedente: il sistema proposto è così composto onde evitare che non si individuino rette unite parallele all'asse delle ordinate. Non sarebbe più conveniente utilizzare l'equazione della generica retta (ax + by + c = 0)?

Grazie per la vostra disponibilità ed il servizio che offrite! [;)]