Incognite ausiliarie nelle equazioni
Sto risolvendo queste equazioni:
Risolvi la seguente equazione utilizzando opportune incognite ausiliarie.
$ (y^2-5y)^2-2(y^2-5y)-24=0 $ porre $ y^2-5y=t $
Segue
$ t^2-2t-24=0 $
Ricado il $ Delta $
$ Delta=4+96=100 $
$ x=(2+-10)/2 $ con $ x_1=6 $ ed $ x_2=-4 $
Da quì in poi comincio ad impallarmi....
Per la prima soluzione:
$ (y^2-5y)^2=6=>y^2-5y=sqrt(6)=> y^2-5y-sqrt(6)=0 $
Per la seconda soluzione:
$ y^2-5y=-4=>y^2-5y+4=0 $
Per la prima soluzione, avrò sicuramente sbagliato qualcosa, perchè si dovrebbero avere dei valori tali da poter risolvere l'equazione di secondo grado che a sua volta da altre due definitive soluzioni. Per la seconda, si può subito risolvere l'equazione di secondo grado, che mi porta a due risultati che sono: $ 4;1 $ che sono giusti, ma il mio dubbio resta per la prima soluzione.
Risolvi la seguente equazione utilizzando opportune incognite ausiliarie.
$ (y^2-5y)^2-2(y^2-5y)-24=0 $ porre $ y^2-5y=t $
Segue
$ t^2-2t-24=0 $
Ricado il $ Delta $
$ Delta=4+96=100 $
$ x=(2+-10)/2 $ con $ x_1=6 $ ed $ x_2=-4 $
Da quì in poi comincio ad impallarmi....
Per la prima soluzione:
$ (y^2-5y)^2=6=>y^2-5y=sqrt(6)=> y^2-5y-sqrt(6)=0 $
Per la seconda soluzione:
$ y^2-5y=-4=>y^2-5y+4=0 $
Per la prima soluzione, avrò sicuramente sbagliato qualcosa, perchè si dovrebbero avere dei valori tali da poter risolvere l'equazione di secondo grado che a sua volta da altre due definitive soluzioni. Per la seconda, si può subito risolvere l'equazione di secondo grado, che mi porta a due risultati che sono: $ 4;1 $ che sono giusti, ma il mio dubbio resta per la prima soluzione.
Risposte
Se hai fatto la posizione $y^2-5y=t$, allora, siccome $t$ era $6$ e $-4$, hai le due equazioni
1) $y^2-5y=6$,
2) $y^2-5y=-4$.
La prima diventa $y^2-5y-6=0->(y-6)(y+1)=0$ che ha soluzioni $y_1=-1, y_2=6$,
la seconda diventa $y^2-5y+4=0->(y-1)(y-4)=0$ che ha soluzioni $y_3=1, y_4=4$.
1) $y^2-5y=6$,
2) $y^2-5y=-4$.
La prima diventa $y^2-5y-6=0->(y-6)(y+1)=0$ che ha soluzioni $y_1=-1, y_2=6$,
la seconda diventa $y^2-5y+4=0->(y-1)(y-4)=0$ che ha soluzioni $y_3=1, y_4=4$.
Comunque non devi calcolare $x_1$ e $x_2$ ma $t_1$ e $t_2$.
"chiaraotta":
Se hai fatto la posizione $y^2-5y=t$, allora, siccome $t$ era $6$ e $-4$, hai le due equazioni
1) $y^2-5y=6$,
2) $y^2-5y=-4$.
La prima diventa $y^2-5y-6=0->(y-6)(y+1)=0$ che ha soluzioni $y_1=-1, y_2=6$,
la seconda diventa $y^2-5y+4=0->(y-1)(y-4)=0$ che ha soluzioni $y_3=1, y_4=4$.
Quello che non capisco è se io pongo $y^2-5y=t$ a questo punto $(y^2-5y)^2=t=>(y^2-5y)=t^2$ insomma il quadrato del primo membro non si trasporta al secondo membro facendo diventare il valore di t => $ t^2 $
"anonymous_c5d2a1":
Comunque non devi calcolare $x_1$ e $x_2$ ma $t_1$ e $t_2$.
Ok, grazie per avermi evidenziato questo mio errore nell'attribuire le lettere!
Adesso risolvo questa, anche se con quel dubbio del quadrato del primo membro che si dovrebbe trasportare "a mio parere" al secondo membro
$ (1/(x-1))^6+2(1/(x-1))^3+1=0 $
$ C.E.: x-1 != 0=>x != 1 $
Segue $ (1/(x-1))^3=y $
$ y^2+2y+1=0 $
$ Delta=4-4=0 $
$ x=(-2+-0)/2=>x_1=-1;x_2=-1 $
Segue
$ 1/(x-1)=-1 => 1/(x-1)+1=0=>(1+x-1)/(x-1)=0=>x/(x-1)=0 $
Quindi unica soluzione $ x=0 $
Dite che ho fatto tutto bene?
$ (1/(x-1))^6+2(1/(x-1))^3+1=0 $
$ C.E.: x-1 != 0=>x != 1 $
Segue $ (1/(x-1))^3=y $
$ y^2+2y+1=0 $
$ Delta=4-4=0 $
$ x=(-2+-0)/2=>x_1=-1;x_2=-1 $
Segue
$ 1/(x-1)=-1 => 1/(x-1)+1=0=>(1+x-1)/(x-1)=0=>x/(x-1)=0 $
Quindi unica soluzione $ x=0 $
Dite che ho fatto tutto bene?
"Bad90":
Quello che non capisco è se io pongo $y^2-5y=t$ a questo punto $(y^2-5y)^2=t=>(y^2-5y)=t^2$ insomma il quadrato del primo membro non si trasporta al secondo membro facendo diventare il valore di $t => t^2 $
Direi di no. E te ne rendi conto se ragioni così: $t=(y^2-5y)^2$. Dal momento che $t^2 = t * t $ segue che:
$ t^2 = [t] * [t] = [(y^2-5y)^2] * [(y^2-5y)^2] = (y^2-5y)^(2+2) = (y^2-5y)^4$.
In alternativa puoi ragionare così:
$(y^2-5y)^2=t =>$ Elevando al quadrato ambo i membri ottieni: $[(y^2-5y)^2]^2 = (t)^2 => (y^2-5y)^4 = t^2 $
Questo perchè se elevi al quadrato il primo membro lo devi fare anche al secondo. Quindi in definitiva:
$ t^2 = (y^2-5y)^4 $.
Ciao.
E si 
, ragionando in questo modo riesco ad accettare il concetto!
Ti ringrazio JoJo!
, ragionando in questo modo riesco ad accettare il concetto! Ti ringrazio JoJo!
"Bad90":
....
$ (1/(x-1))^6+2(1/(x-1))^3+1=0 $
.... unica soluzione $ x=0 $
Dite che ho fatto tutto bene?
Mi sembra di sì.
"chiaraotta":
[quote="Bad90"]
....
$ (1/(x-1))^6+2(1/(x-1))^3+1=0 $
.... unica soluzione $ x=0 $
Dite che ho fatto tutto bene?
Mi sembra di sì.[/quote]
Ok! Grazie mille!
Scusate ma ho risolto questa:
$ (x-1)^4-5(x-1)^2+4=0 $
Mi chiedevo se devo considerare le $ C.E.: x-1 != 0=>x != 1 $
Poi nel risolverla sono riuscito ad ottenere due corretti risultati, $ x=3;x=2 $ ponendo $ (x-1)^2=y $
Bene.
Ma perchè il testo mi dice che ci sono 4 risultati?
Ho risolto l'equazione in questo modo:
$ y^2-5y+4=0 $
$ Delta=9 $
$ x_1=4;x_2=1 $
Segue
$ (x-1)^2=4=>x-1=2=>x=3 $
$ (x-1)^2=1=>x=2 $
Perchè il testo dice che ci sono anche $ -1;0 $
$ (x-1)^4-5(x-1)^2+4=0 $
Mi chiedevo se devo considerare le $ C.E.: x-1 != 0=>x != 1 $
Poi nel risolverla sono riuscito ad ottenere due corretti risultati, $ x=3;x=2 $ ponendo $ (x-1)^2=y $
Bene. Ma perchè il testo mi dice che ci sono 4 risultati?
Ho risolto l'equazione in questo modo:
$ y^2-5y+4=0 $
$ Delta=9 $
$ x_1=4;x_2=1 $
Segue
$ (x-1)^2=4=>x-1=2=>x=3 $
$ (x-1)^2=1=>x=2 $
Perchè il testo dice che ci sono anche $ -1;0 $
Attenzione allo svolgimento delle equazioni finali.
La prima è: $(x-1)^2 = 4$. Bene o la risolvi nel modo classico, oppure fai dei ragionamenti ad occhio. Ad esempio puoi dire che, dato che l'equazione ricerca quei valori di $x$ tali che sottratti a $1$ ed elevati al quadrato diano $4$, arrivi a dire che tali valori sono:
$x_1 = -1 $, infatti $(x_1 - 1)^2 = 4 => (-1-1)^2 = 4 => (-2)^2 = 4 => 4 = 4$. Soddisafatta!
$x_2 = 3 $, infatti $(x_2 - 1)^2 = 4 => (3-1)^2 = 4 => (2)^2 = 4 => 4 = 4$. Soddisafatta!
Stesso ragionamento per l'altra: $(x-1)^2 = 1$.
In alternativa risolvi le equazioni normalemente, cioè sviluppando il quadrato del binomio; ti ritroverai con equazioni di secondo grado che come tali ti restituiranno due valori ciascuna.
La prima è: $(x-1)^2 = 4$. Bene o la risolvi nel modo classico, oppure fai dei ragionamenti ad occhio. Ad esempio puoi dire che, dato che l'equazione ricerca quei valori di $x$ tali che sottratti a $1$ ed elevati al quadrato diano $4$, arrivi a dire che tali valori sono:
$x_1 = -1 $, infatti $(x_1 - 1)^2 = 4 => (-1-1)^2 = 4 => (-2)^2 = 4 => 4 = 4$. Soddisafatta!
$x_2 = 3 $, infatti $(x_2 - 1)^2 = 4 => (3-1)^2 = 4 => (2)^2 = 4 => 4 = 4$. Soddisafatta!
Stesso ragionamento per l'altra: $(x-1)^2 = 1$.
In alternativa risolvi le equazioni normalemente, cioè sviluppando il quadrato del binomio; ti ritroverai con equazioni di secondo grado che come tali ti restituiranno due valori ciascuna.
Anche in questa:
$ (x-1)^1-13(x-1)^2+36=0 $
Sono riuscito ad avere 2 risultati corretti, ma come devo fare ad ottenere gli altri due risultati? Penso che sto trascurando qualche passaggio da fare ancora....
Ponendo $ (x-1)^2=y $
$ y^2-13y+36=0 $
$ Delta=25 $
$ x=(13+-5)/2 $
$ x_1=9 $ ed $ x_2=4 $
Segue
$ (x-1)^2=9=>x-1=3=>x=4 $
$ (x-1)^2=4=>x-1=2=>x=3 $
Bene, e da dove li prendo quegli altri due risultati $ -1;-2 $
$ (x-1)^1-13(x-1)^2+36=0 $
Sono riuscito ad avere 2 risultati corretti, ma come devo fare ad ottenere gli altri due risultati? Penso che sto trascurando qualche passaggio da fare ancora....
Ponendo $ (x-1)^2=y $
$ y^2-13y+36=0 $
$ Delta=25 $
$ x=(13+-5)/2 $
$ x_1=9 $ ed $ x_2=4 $
Segue
$ (x-1)^2=9=>x-1=3=>x=4 $
$ (x-1)^2=4=>x-1=2=>x=3 $
Bene, e da dove li prendo quegli altri due risultati $ -1;-2 $
Più che trascurando dovrei dire che è sbagliato il procedimento risolutivo. Consideriamo sempre le prime due equazioni e poi il ragionamento lo riporti all'esercizio che hai postato adesso.
Intanto mi sono dimenticato di dirti una cosa riguardo le $C.E.$. Hai infatti scritto che
Le $C.E.$ si devono imporre quando c'è pericolo di ottenere soluzioni che rendono impossibile l'equazione. Così, nel caso di equazioni fratte c'è il pericolo che si annulli il denominatore, quindi devi imporre condizioni che scartino soluzioni che provochino ciò.
Nel caso di equazioni intere, in cui non compaiono funzioni particolari (logaritmi ad esempio), non hai nessun bisogno di scrivere le condizioni di esistenza in quanto qualunque valore di $x$ che è soluzione ti va bene.
Chiusa la parentesi su questo torniamo alle equazioni finali.
Se io di dicessi: risolvi l'equazione $(x-1)^2 = 4$, tu come procedi?
Intanto mi sono dimenticato di dirti una cosa riguardo le $C.E.$. Hai infatti scritto che
"Bad90":
Scusate ma ho risolto questa:
$ (x-1)^4-5(x-1)^2+4=0 $
Mi chiedevo se devo considerare le $ C.E.: x-1 != 0=>x != 1 $
Le $C.E.$ si devono imporre quando c'è pericolo di ottenere soluzioni che rendono impossibile l'equazione. Così, nel caso di equazioni fratte c'è il pericolo che si annulli il denominatore, quindi devi imporre condizioni che scartino soluzioni che provochino ciò.
Nel caso di equazioni intere, in cui non compaiono funzioni particolari (logaritmi ad esempio), non hai nessun bisogno di scrivere le condizioni di esistenza in quanto qualunque valore di $x$ che è soluzione ti va bene.
Chiusa la parentesi su questo torniamo alle equazioni finali.
Se io di dicessi: risolvi l'equazione $(x-1)^2 = 4$, tu come procedi?
Perfetto amico mio JoJo, ho fatto la verifica ed infatti è proprio come dici tu!
Adesso devo cercare di allenarmi con il metodo Ad Occhio, è molto più veloce.
Adesso devo cercare di allenarmi con il metodo Ad Occhio, è molto più veloce.
"JoJo_90":
Se io di dicessi: risolvi l'equazione $(x-1)^2 = 4$, tu come procedi?
Allora...
$ x^2-2x+1=4 $
Segue
$ x^2-2x-3=0 $
$ Delta= 16 $
$ x=(2+-4)/2 $
$ x_1=3 $ ed $ x_2=-1 $
E dato il risultato $ x_1=3 $ che è già noto nella risoluzione di prima, aggiungo il nuovo risultato $ x_2=-1 $
Ma guarda io ti consiglierei di allenarti col metodo normale. E' bene padroneggiare quest'ultimo infatti che quello ad occhio in quanto il metodo canonico va bene per qualunque equazione, dalla più semplice alla più complessa, mentre procedendo ad occhio c'è il rischio di prendere cantonate.
A questo punto ripeti gli stessi ragionamenti anche per il secondo esercizio che hai postato e vedrai che otterrai tutte le soluzioni.
Se hai dubbi ovviamente postali pure.
Ciao.
A questo punto ripeti gli stessi ragionamenti anche per il secondo esercizio che hai postato e vedrai che otterrai tutte le soluzioni.
Se hai dubbi ovviamente postali pure.
Ciao.
"JoJo_90":
Ma guarda io ti consiglierei di allenarti col metodo normale. E' bene padroneggiare quest'ultimo infatti che quello ad occhio in quanto il metodo canonico va bene per qualunque equazione, dalla più semplice alla più complessa, mentre procedendo ad occhio c'è il rischio di prendere cantonate.
Perfetto, bene a sapersi!
"JoJo_90":
Se io di dicessi: risolvi l'equazione $(x-1)^2 = 4$, tu come procedi?
Comunque hai pienamente ragione nel fatto che si risolve $(x-1)^2 = 4$ sviluppando il quadrato di un binomio del primo membro, ma perchè il mio testo invece risolve in questo modo? Es, per $ y=8 $
$ (x-2)^3 = 8=>(x-2)= root(3)(8)=>x-2 = 2=>x= -4 $
Questo viene fatto in un esercizio guidato, e ti devo dire la verità io sto riuscendo a risolverle, grazie alla dimostrazione che mi hai fatto vedere! Solo che non capisco il perchè il mio testo fa in quel modo!
Ti dò una risposta di cui non sono certo. Allora mi sembra di aver capito che tu vorresti sapere: perchè se ho
$(x-1)^2 = 4$, risolvo sviluppando il quadrato del binomio, mentre se ho
$(x-2)^3 = 8$, risolvo (o meglio il libro risolve) estraendo la radice ab ambo i membri così
$root (3)((x-2)^3) = root(3)(8)$ che conduce a $x-2=2 => x=4$?
Non potrei fare lo stesso per la prima equazione, cioè scrivere che
$root(2)((x-1)^2) = root (2)(4) => x-1 = 2 => x = 3$?
La risposta è no, cioè non puoi fare lo stesso ragionamento della prima con la seconda, perchè quest'ultima è una equazione irrazionale (cioè in cui l'incognita è sotto radice) avente radice con esponente pari, mentre la prima ha esponente dispari. Le equazioni irrazionali con indice pari non conviene risolverle con un modo "diretto" perchè si rischia di perdersi soluzioni; questo invece non avviene con le equazioni irrazionali di indice dispari.
Quindi credo sia questa la questione. Tra l'altro hai visto che risolvendo l'equazione $(x-1)^2 = 4$ nel modo scritto, ti perdi una soluzione, mentre l'equazione $(x-2)^3 = 8 $ presenta come unica soluzione solo $x=4$ credo (ciò giustifica il fatto che puoi risolverla come dice il libro).
Credo però che potresti fare:
$root(2)((x-1)^2) = root (2)(4) => x-1 =\pm 2 $ in quanto $sqrt 4 = \pm 2$ (cioè specifichi che deve valere il $\pm$ come tante volte ti ho detto).
Quindi risolvi una volta considerando il $+2$ e una volta considerando il $-2$
1. $x-1=2 => x = 3$
2. $x-1 = -2 => x = -1$
Ora non sò se ha un qualche senso quello che ho scritto, soprattutto la prima parte. Ti conviene pertanto aspettare altri, vedi giammaria o chiarotta, che sono persone di gran lunga più preparate di me e che sicuramente sapranno risponderti correttamente.
Ciao.
$(x-1)^2 = 4$, risolvo sviluppando il quadrato del binomio, mentre se ho
$(x-2)^3 = 8$, risolvo (o meglio il libro risolve) estraendo la radice ab ambo i membri così
$root (3)((x-2)^3) = root(3)(8)$ che conduce a $x-2=2 => x=4$?
Non potrei fare lo stesso per la prima equazione, cioè scrivere che
$root(2)((x-1)^2) = root (2)(4) => x-1 = 2 => x = 3$?
La risposta è no, cioè non puoi fare lo stesso ragionamento della prima con la seconda, perchè quest'ultima è una equazione irrazionale (cioè in cui l'incognita è sotto radice) avente radice con esponente pari, mentre la prima ha esponente dispari. Le equazioni irrazionali con indice pari non conviene risolverle con un modo "diretto" perchè si rischia di perdersi soluzioni; questo invece non avviene con le equazioni irrazionali di indice dispari.
Quindi credo sia questa la questione. Tra l'altro hai visto che risolvendo l'equazione $(x-1)^2 = 4$ nel modo scritto, ti perdi una soluzione, mentre l'equazione $(x-2)^3 = 8 $ presenta come unica soluzione solo $x=4$ credo (ciò giustifica il fatto che puoi risolverla come dice il libro).
Credo però che potresti fare:
$root(2)((x-1)^2) = root (2)(4) => x-1 =\pm 2 $ in quanto $sqrt 4 = \pm 2$ (cioè specifichi che deve valere il $\pm$ come tante volte ti ho detto).
Quindi risolvi una volta considerando il $+2$ e una volta considerando il $-2$
1. $x-1=2 => x = 3$
2. $x-1 = -2 => x = -1$
Ora non sò se ha un qualche senso quello che ho scritto, soprattutto la prima parte. Ti conviene pertanto aspettare altri, vedi giammaria o chiarotta, che sono persone di gran lunga più preparate di me e che sicuramente sapranno risponderti correttamente.
Ciao.
Ti ringrazio JoJo, spero di capire il perchè, resta il fatto che con il metodo che mi hai detto inizialmete tu, le ho risolte tute in modo corretto!
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