INCLUSIONE STRETTA
Che cosa si intende per inclusione stretta e cosa per inclusione larga?Sul mio testo di matematica c'è scritto che per evidenziare il fatto che il sottinsieme è proprio (cioè non è vuoto e tutti i suoi elementi appartengono all'insieme che possiede però anche altri elementi oltre a quelli del sottinsieme),si usa il simbolo di inclusione stretta.
Tuttavia su altri testi di matematica trovo scritto nel definire i due tipi di sottinsieme improprio:
{}CA (sottoinsieme vuoto sottinsieme di A)
ACA (A sottinsieme di se stesso)
Dunque in questo caso non si tratta del simbolo di inclusione stretta??!?
Tuttavia su altri testi di matematica trovo scritto nel definire i due tipi di sottinsieme improprio:
{}CA (sottoinsieme vuoto sottinsieme di A)
ACA (A sottinsieme di se stesso)
Dunque in questo caso non si tratta del simbolo di inclusione stretta??!?
Risposte
In base alle definizioni che ho trovato, a me risulta:
Sia $S$ un insieme qualsiasi, allora:
$emptyset subseteq S$
$ S subseteq S$
mentre per l'inclusione stretta:
Se $S ne emptyset $ allora $emptyset subset S$
Ti riporto comunque la definizione (abbreviata):
Siano $S$ e $T$ insiemi. Si dice che $S$ è contenuto in $T$ e si usa la scrittura $ S subseteq T$ se non esiste alcun elemento di $S$ che non sia anche elemento di $T$.
Ovviamente l'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme, e qualunque sia l'insieme $S$ risulta $ S subseteq S $
Si dice che un insieme $S$ è contenuto propriamente in un insieme $T$ e si usa il simbolo $S subset T$, se $S$ è contenuto in $T$ ed $S ne T$, quindi ogni elemento di $S$ è anche elemento di $T$ ma esiste un elemento di $T$ che non appartiene ad $S$.
Ovviamente l'insieme vuoto è contenuto propriamente in ogni insieme non vuoto.
Sia $S$ un insieme qualsiasi, allora:
$emptyset subseteq S$
$ S subseteq S$
mentre per l'inclusione stretta:
Se $S ne emptyset $ allora $emptyset subset S$
Ti riporto comunque la definizione (abbreviata):
Siano $S$ e $T$ insiemi. Si dice che $S$ è contenuto in $T$ e si usa la scrittura $ S subseteq T$ se non esiste alcun elemento di $S$ che non sia anche elemento di $T$.
Ovviamente l'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme, e qualunque sia l'insieme $S$ risulta $ S subseteq S $
Si dice che un insieme $S$ è contenuto propriamente in un insieme $T$ e si usa il simbolo $S subset T$, se $S$ è contenuto in $T$ ed $S ne T$, quindi ogni elemento di $S$ è anche elemento di $T$ ma esiste un elemento di $T$ che non appartiene ad $S$.
Ovviamente l'insieme vuoto è contenuto propriamente in ogni insieme non vuoto.
Scusa Celine,quali simboli stanno rispettivamente per "subseteq" e "subset",non capisco questa simbologia,scusa...
subset per inclusione stretta $subset$
subseteq per inclusione larga $subseteq$
Prova ad installare i fonts dal seguente indirizzo:
http://web.mit.edu/atticus/www/mathml/m ... .0-fc1.msi
e ad usare Firefox per la navigazione, non dovresti aver problemi nel visualizzare le formule...
subseteq per inclusione larga $subseteq$
Prova ad installare i fonts dal seguente indirizzo:
http://web.mit.edu/atticus/www/mathml/m ... .0-fc1.msi
e ad usare Firefox per la navigazione, non dovresti aver problemi nel visualizzare le formule...
Ecco cosa ho trovato sulla versione inglese di Wikipedia:
A set A is considered to be a subset of a set B, if A is "contained" inside B. Every set is a subset of itself. In this example, B would then be considered a superset of A.
More formally, If A and B are sets and every element of A is also an element of B, then:
A is a subset of (or is included in) B, denoted by A ⊆ B,
or equivalently
B is a superset of (or includes) A, denoted by B ⊇ A.
If A is a subset of B, but A is not equal to B, then A is also a proper (or strict) subset of B. This is written as A ⊂ B. In the same way, B ⊃ A means that B is a proper superset of A. If A is a proper subset of B, then there exists at least one element x of B which is not an element of A.
An easy way to remember the difference in symbols is to note that ⊆ and ⊂ are analogous to ≤ and <. For example, if A is a subset of B (written as A ⊆ B), then the number of elements in A is less than or equal to the number of elements in B (written as |A| ≤ |B|). Likewise, for finite sets A and B, if A ⊂ B then |A| < |B|.
N.B. Many authors do not follow the above conventions, but use ⊂ to mean simply subset (rather than proper subset). There is an unambiguous symbol, (⊆), for proper subset. Some authors use both unambiguous symbols, ⊆ for subset and (⊆,)for proper subset, and dispense with ⊂ altogether.
TRADUZIONE:
Un insieme A è considerato un sottoinsieme di B, se A è "contenuto" all'interno di B. Ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso. In questo esempio, B sarebbe un insieme che include A.
Più formalmente, se A e B sono insiemi e ogni elemento di A è anche un elemento di B, allora:
A è un sottoinsieme di (o è incluso in ) B, indicando ciò con la scrittura A ⊆ B,
o equivalentemente
B è un insieme che include A, indicando ciò con la scrittura B ⊇ A.
Se A è un sottoinsieme di B, ma A non è uguale a B, allora A is anche un sottoinsieme proprio (o stretto) di B. Ciò si scrive come A ⊂ B. Allo stesso modo, B ⊃ A indica che B è un insieme che include A proprio. Se A è un sottoinsieme proprio di B, allora in lui esiste almeno un elemento x di B che non è un elemento di A.
Una maniera semplice per ricordare la differenza in simboli è osservare che ⊆ e ⊂ sono analoghi a≤ e <. Per esempio, se A è un sottoinsieme di B (scritto come A ⊆ B), allora il numero di elementi in A è minore o uguale al numero di elementi in B (scritto come|A| ≤ |B|). Altrettanto, per gli insiemi finiti A e B, se A ⊂ B allora |A| < |B|.
N.B. Molti autori non seguono le convenzioni soprastanti, ma usano ⊂ per indicare semplicemente un sottoinsieme (piuttosto che un sottoinsieme proprio). C'è un simbolo che non da adito a equivoci, (⊆,)(cioè contenuto o uguale con una virgola al centro della linea sottostante,ma non sono riuscita a rappresentarlo fedelmente) per il sottoinsieme proprio. Alcuni autori usano entrambi i simboli non ambigui, ⊆ per il sottoinsieme and (⊆,)per il sottoinsieme proprio, e fanno del tutto a meno di ⊂ .
A set A is considered to be a subset of a set B, if A is "contained" inside B. Every set is a subset of itself. In this example, B would then be considered a superset of A.
More formally, If A and B are sets and every element of A is also an element of B, then:
A is a subset of (or is included in) B, denoted by A ⊆ B,
or equivalently
B is a superset of (or includes) A, denoted by B ⊇ A.
If A is a subset of B, but A is not equal to B, then A is also a proper (or strict) subset of B. This is written as A ⊂ B. In the same way, B ⊃ A means that B is a proper superset of A. If A is a proper subset of B, then there exists at least one element x of B which is not an element of A.
An easy way to remember the difference in symbols is to note that ⊆ and ⊂ are analogous to ≤ and <. For example, if A is a subset of B (written as A ⊆ B), then the number of elements in A is less than or equal to the number of elements in B (written as |A| ≤ |B|). Likewise, for finite sets A and B, if A ⊂ B then |A| < |B|.
N.B. Many authors do not follow the above conventions, but use ⊂ to mean simply subset (rather than proper subset). There is an unambiguous symbol, (⊆), for proper subset. Some authors use both unambiguous symbols, ⊆ for subset and (⊆,)for proper subset, and dispense with ⊂ altogether.
TRADUZIONE:
Un insieme A è considerato un sottoinsieme di B, se A è "contenuto" all'interno di B. Ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso. In questo esempio, B sarebbe un insieme che include A.
Più formalmente, se A e B sono insiemi e ogni elemento di A è anche un elemento di B, allora:
A è un sottoinsieme di (o è incluso in ) B, indicando ciò con la scrittura A ⊆ B,
o equivalentemente
B è un insieme che include A, indicando ciò con la scrittura B ⊇ A.
Se A è un sottoinsieme di B, ma A non è uguale a B, allora A is anche un sottoinsieme proprio (o stretto) di B. Ciò si scrive come A ⊂ B. Allo stesso modo, B ⊃ A indica che B è un insieme che include A proprio. Se A è un sottoinsieme proprio di B, allora in lui esiste almeno un elemento x di B che non è un elemento di A.
Una maniera semplice per ricordare la differenza in simboli è osservare che ⊆ e ⊂ sono analoghi a≤ e <. Per esempio, se A è un sottoinsieme di B (scritto come A ⊆ B), allora il numero di elementi in A è minore o uguale al numero di elementi in B (scritto come|A| ≤ |B|). Altrettanto, per gli insiemi finiti A e B, se A ⊂ B allora |A| < |B|.
N.B. Molti autori non seguono le convenzioni soprastanti, ma usano ⊂ per indicare semplicemente un sottoinsieme (piuttosto che un sottoinsieme proprio). C'è un simbolo che non da adito a equivoci, (⊆,)(cioè contenuto o uguale con una virgola al centro della linea sottostante,ma non sono riuscita a rappresentarlo fedelmente) per il sottoinsieme proprio. Alcuni autori usano entrambi i simboli non ambigui, ⊆ per il sottoinsieme and (⊆,)per il sottoinsieme proprio, e fanno del tutto a meno di ⊂ .
Il simbolo "(⊆,)" che usi, e che descrivi come "cioè contenuto o uguale con una virgola al centro della linea sottostante", lo "leggo" diversamente: non è una "virgola" ma è il "taglio" che si usa tipicamente per indicare la disuguaglianza. Lo si mette sul tratto orizzontale proprio per mettere in evidenza che si vuole "contenuto ma non uguale"
quanto a ciò che dici:
"Alcuni autori usano entrambi i simboli non ambigui, ⊆ per il sottoinsieme and (⊆,)per il sottoinsieme proprio, e fanno del tutto a meno di ⊂ ."
io sono tra questi, e sono un fervido sostenitore di questo tipo di notazioni (o terminologie) che non si prestano ad ambiguità.
Il simbolo "⊆" non ammette nessun'altra sensata "interpretazione" e lo stesso dicasi del simbolo "(⊆,)"
ciao
quanto a ciò che dici:
"Alcuni autori usano entrambi i simboli non ambigui, ⊆ per il sottoinsieme and (⊆,)per il sottoinsieme proprio, e fanno del tutto a meno di ⊂ ."
io sono tra questi, e sono un fervido sostenitore di questo tipo di notazioni (o terminologie) che non si prestano ad ambiguità.
Il simbolo "⊆" non ammette nessun'altra sensata "interpretazione" e lo stesso dicasi del simbolo "(⊆,)"
ciao
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