Il V postulato di Euclide è indecidibile?
Buongiorno a tutti, mi è sorto un dubbio riguardo al quinto postulato di Euclide poiché lo divrei inserire nella mia tesina. Il mio profe mi ha detto che è indecidibile ma non capisco il motivo.. è un postulato quindi è vero ed è impossibile dimostrarlo nel sistema della geometria euclidea. Invece se considero Il sistema delle geometrie non euclidee questo postulato non è più vero. Ma come faccio a dire che è indecidibile?
Risposte
Esami di terza media?
Maturità
Allora sposto nella sezione di Secondaria di II grado.
Non ho capito che cosa intendi per indecidibile.
Se il postulato è vero abbiamo la geometria euclidea, se è falso una delle altre geometrie non euclidee.
Il postulato può essere falso perché cade il concetto di esistenza della parallela, in questo caso parleremo di geometria ellittica.
Il postulato può essere falso perché cade il concetto di unicità della parallela, in questo caso parleremo di geometria iperbolica.
Non ho capito che cosa intendi per indecidibile.
Se il postulato è vero abbiamo la geometria euclidea, se è falso una delle altre geometrie non euclidee.
Il postulato può essere falso perché cade il concetto di esistenza della parallela, in questo caso parleremo di geometria ellittica.
Il postulato può essere falso perché cade il concetto di unicità della parallela, in questo caso parleremo di geometria iperbolica.
Io avevo letto che era indecidibile perché all'interno di un sistema era vera e in un altro invece era falso, e volevo chiedere se questa cosa era vera vera oppure no prima di scrivere cavolate nella tesina
Io eviterei di usare la parola indecidibile, mi pare fuorviante.
Se dico che "1 è un punto isolato" è vera nell'insieme $NN$ e falsa in $RR$, non per questo è indecidibile. Ogni proposizione va inserita in un contesto e in quel contesto possiamo dire se è vera o falsa. Spero di essermi spiegata.
Se dico che "1 è un punto isolato" è vera nell'insieme $NN$ e falsa in $RR$, non per questo è indecidibile. Ogni proposizione va inserita in un contesto e in quel contesto possiamo dire se è vera o falsa. Spero di essermi spiegata.
Devi specificare in quale sistema di assiomi, perché in effetti se consideri solo gli altri 4 assiomi di Euclide, allora sì che è indecidibile perché ci sono modelli in cui vale e modelli in cui non vale.
Nel primo post hai detto: "è un postulato quindi non è possibile dimostrarlo", beh non è proprio esatta l'implicazione, infatti io potrei assumere come postulati anche degli enunciati dimostrabili a partire dagli altri che scelgo, solo che in genere questo non viene fatto perché i matematici sono persone a cui non piace essere ridondanti, si preoccupano che tutti gli assiomi di una teoria assiomatica siano indipendenti dagli altri.
Nel primo post hai detto: "è un postulato quindi non è possibile dimostrarlo", beh non è proprio esatta l'implicazione, infatti io potrei assumere come postulati anche degli enunciati dimostrabili a partire dagli altri che scelgo, solo che in genere questo non viene fatto perché i matematici sono persone a cui non piace essere ridondanti, si preoccupano che tutti gli assiomi di una teoria assiomatica siano indipendenti dagli altri.
Generazioni di matematici hanno provato a dimostrare il postulato delle parallele partendo dagli altri assiomi e postulati, proprio per evitare la ridondanza. Non ci sono riusciti, semplicemente perché ciò non è possibile.
Concordo sul fatto che "indecidibile" sia un termine un po' fuorviante.
Ammettendo il V postulato siamo nel campo della geometria euclidea, o geometria del piano che, rappresentando di fatto la realtà macroscopica che osserviamo, è stato il primo dei postulati sulle parallele, accettato "per fede" da chiunque.
Solo molto più tardi, a partire dal 19° secolo, in particolare da una pubblicazione di Gauss del 1828, Riemann nel 1854 negò il quinto postulato, affermando che non esistono rette parallele o, per usare le sue parole, che "due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune". Inoltre, già nel 1826 un matematico russo, N. Lobacevskij, ed uno ungherese, J. Bolyai, avevano negato il V postulato sostenendo che, per un punto, passano almeno due parallele ad una retta data.
Queste idee (come, secoli prima, nel tardo XVII, Newton e Leibniz giunsero alla teoria del calcolo infinitesimale) comparvero quasi contemporaneamente senza che i loro autori avessero avuto alcun contatto o scambio di opinioni. Come in primavera i fiori sbocciano tutti insieme senza averlo concordato preventivamente.
Questi due diversi, opposti punti di vista, lungi dall'essere pure speculazioni filosofiche, diedero luogo a due tipi di geometria non euclidea che trovarono importanti applicazioni in vari campi della scienza. In particolare la geometria "ellittica" di Riemann è alla base, per esempio, dello studio della cartografia della superficie terrestre. La geometria "iperbolica" di Lobacevskij trova applicazione in vari settori della fisica, come la teoria della relatività di Einstein e lo studio del comportamento delle particelle sub-microscopiche.
In sintesi ognuna di queste geometrie non è né vera né falsa. Sono diverse. Ciascuna si basa sull'affermazione o sulla negazione (come abbiamo visto in due modi opposti) del V postulato. Ciascuna ha il medesimo diritto di cittadinanza nel meraviglioso mondo della matematica.
Concordo sul fatto che "indecidibile" sia un termine un po' fuorviante.
Ammettendo il V postulato siamo nel campo della geometria euclidea, o geometria del piano che, rappresentando di fatto la realtà macroscopica che osserviamo, è stato il primo dei postulati sulle parallele, accettato "per fede" da chiunque.
Solo molto più tardi, a partire dal 19° secolo, in particolare da una pubblicazione di Gauss del 1828, Riemann nel 1854 negò il quinto postulato, affermando che non esistono rette parallele o, per usare le sue parole, che "due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune". Inoltre, già nel 1826 un matematico russo, N. Lobacevskij, ed uno ungherese, J. Bolyai, avevano negato il V postulato sostenendo che, per un punto, passano almeno due parallele ad una retta data.
Queste idee (come, secoli prima, nel tardo XVII, Newton e Leibniz giunsero alla teoria del calcolo infinitesimale) comparvero quasi contemporaneamente senza che i loro autori avessero avuto alcun contatto o scambio di opinioni. Come in primavera i fiori sbocciano tutti insieme senza averlo concordato preventivamente.
Questi due diversi, opposti punti di vista, lungi dall'essere pure speculazioni filosofiche, diedero luogo a due tipi di geometria non euclidea che trovarono importanti applicazioni in vari campi della scienza. In particolare la geometria "ellittica" di Riemann è alla base, per esempio, dello studio della cartografia della superficie terrestre. La geometria "iperbolica" di Lobacevskij trova applicazione in vari settori della fisica, come la teoria della relatività di Einstein e lo studio del comportamento delle particelle sub-microscopiche.
In sintesi ognuna di queste geometrie non è né vera né falsa. Sono diverse. Ciascuna si basa sull'affermazione o sulla negazione (come abbiamo visto in due modi opposti) del V postulato. Ciascuna ha il medesimo diritto di cittadinanza nel meraviglioso mondo della matematica.
Grazie mille per la risposta, quindi "indecidibile" sarebbe sbagliato? E poi un'altra cosa, ma i postulati non sono per definizione "indimostrabili"?
"Leo15":
... E poi un'altra cosa, ma i postulati non sono per definizione "indimostrabili"?
Non proprio ... non è che siano sempre e per forza "indimostrabili" ma più semplicemente NON devono essere dimostrati ... si prendono per buoni così come si prendono per buone le regole di un gioco: se ti sta bene, le accetti e giochi; se non ti sta bene, ti fai le tue regole e ti inventi il tuo gioco ...
Capito, quindi le geometrie euclidee sono nate dal (vano) tentativo di dimostrare il quinto postulato poiché si credeva che potesse essere derivato dai primi 4 giusto?
"Leo15":
Capito, quindi le geometrie euclidee sono nate dal (vano) tentativo di dimostrare il quinto postulato poiché si credeva che potesse essere derivato dai primi 4 giusto?
Ti sei dimenticato un "non"
Quelle NON euclidee sono nate dal vano tentativo ...
@Leo15
Non direi ... sono nate perché si è ritenuto (alcuni hanno ritenuto) che si potessero avere geometrie interessanti e utili NON usando quel postulato ma altri ... in pratica hanno cambiato una regola del gioco per crearne un altro (di gioco) ... come il rugby dal calcio ...
Non direi ... sono nate perché si è ritenuto (alcuni hanno ritenuto) che si potessero avere geometrie interessanti e utili NON usando quel postulato ma altri ... in pratica hanno cambiato una regola del gioco per crearne un altro (di gioco) ... come il rugby dal calcio ...
Secondo me non c'è niente di male nell'usare il termine indecidibile dato che è un termine tecnico della logica matematica, potrei essere d'accordo nello sconsigliarne l'utilizzo a chi non ne conosce la definizione.
Io sapevo che Gauss aveva cominciato a sviluppare le geometrie non euclidee perché aveva avuto a che fare con problemi di geodesia, infatti era stato incaricato di fare una mappatura del territorio il più fedele possibile, questo gli ha fatto pensare: "uh che bello, potrei farci un'intera teoria matematica sopra! Tanto oggi pomeriggio non avevo niente da fare"
Io sapevo che Gauss aveva cominciato a sviluppare le geometrie non euclidee perché aveva avuto a che fare con problemi di geodesia, infatti era stato incaricato di fare una mappatura del territorio il più fedele possibile, questo gli ha fatto pensare: "uh che bello, potrei farci un'intera teoria matematica sopra! Tanto oggi pomeriggio non avevo niente da fare"
Da profano, non userei questo termine.
Penso che "indecidibile" si possa usare per una affermazione per la quale non c'è modo di sapere se si può oppure no derivare dagli assiomi.
Ma per il postulato delle parallele la questione non è la derivabilità dai quattro postulati precedenti (e qui sappiamo che non si può), ma è la sua aderenza alla realtà fisica, quindi non è questione teorica ma sperimentale (e qui pure sappiamo che non aderisce, visto che la luce non va diritta nel senso euclideo)
Penso che "indecidibile" si possa usare per una affermazione per la quale non c'è modo di sapere se si può oppure no derivare dagli assiomi.
Ma per il postulato delle parallele la questione non è la derivabilità dai quattro postulati precedenti (e qui sappiamo che non si può), ma è la sua aderenza alla realtà fisica, quindi non è questione teorica ma sperimentale (e qui pure sappiamo che non aderisce, visto che la luce non va diritta nel senso euclideo)
Infatti, come giá detto, non è indecidibile, anzi direi che lo é eccome: é uno dei diversi modi, altrettanto validi, di descrivere la realtà.
"axpgn":
i postulati si prendono per buoni così come si prendono per buone le regole di un gioco: se ti sta bene, le accetti e giochi; se non ti sta bene, ti fai le tue regole e ti inventi il tuo gioco ...
Hilbert, eh?
Comunque tutto quel "putiferio" è uno dei più importanti eventi della matematica. I dettagli storici te li hanno raccontati a grandi linee.
Il termine "indecidibile" fa parte della logica matematica, in particolare riguarda gli assiomi. Cos'è un assioma? la risposta che danno alle superiori è delle tipo "un assioma è una proposizione che esprime qualcosa di evidente, intuitivo". Sì ma anche alcuni teoremi esprimono qualcosa di intuitivo. Questa sorta di definizione è un po' ambigua secondo me.
"otta96":
...i matematici sono persone a cui non piace essere ridondanti, si preoccupano che tutti gli assiomi di una teoria assiomatica siano indipendenti dagli altri.
La questione è complessa. Te la spiego in parole spicce...
Dal punto di vista logico una proposizione $mathcal{P}$ è decidibile quando è vero o $mathcal{P}$ o $neg mathcal{P}$ ($neg$ indica la negazione), indecidibile in caso contrario. C'è di più: nell'eveninza che $mathcal{P}$ sia indecidibile, che io assumo vero $mathcal{P}$ o $neg mathcal{P}$ non ho situazioni incoerenza, ovvero potrei creare benissimo una matematica nuova senza che questa si contraddica da sola a un certo punto (guardati l' antinomia di Russell per curiosità).
Sì, ma anche il teorema di Godel ha qualcosa da dire................
Sì, ovvio. Ma ci sono situazioni come quella dell'ipotesi del continuo. Cohen ha provato che assumere vero o meno questa ipotesi non crea incoerenze.
"otta96":
...i matematici sono persone a cui non piace essere ridondanti, si preoccupano che tutti gli assiomi di una teoria assiomatica siano indipendenti dagli altri.
Vero, ma non è un mero pallino. Di fatto un sistema è tanto più forte quanto minore è il numero dei postulati su cui si fonda. Ecco il punto di partenza per cercare la dimostrazione del V postulato a partire dai primi quattro, ricerca fallita che ha dato il via all'idea di negarlo e alla scoperta di almeno due geometrie "non euclidee" altrettanto degne di cittadinanza nel mondo matematico.
Se si contesta il principio che un postulato sia indimostrabile, allora ha ragione il prof ha dire che è indecidibile. Bisogna intendersi su che cosa significa indecidibile, ovvero qualcosa di cui non solo non si può dire che è vera (perchè nessuno sinora è riuscita a dimostrarla) ma neanche che sia falsa. Infatti se si fosse dimostrata la falsità del V postulato di Euclide, semplicemente la geometria piana sarebbe stata rimpiazzata da quella ellittica o da quella iperbolica, che invece convivono tra loro e con quella classica euclidea.
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