Il quadrilatero
In un cerchio è inscritto un quadrilatero ABCD avente le diagonali AC e BD perpendicolari.
Sapendo che CD = 2, si determini la distanza del centro del cerchio dal lato AB.
Sapendo che CD = 2, si determini la distanza del centro del cerchio dal lato AB.
Risposte
Ho l'impressione che manchi qualche dato, gia' per il fatto che sono
infinite le circonferenze che passano per C e D.
Una volta costruita una di queste circonferenze ,vi sono poi
infiniti quadrilateri ABCD con le diagonali perpendicolari inscritti
in essa ed aventi CD=2.Per ognuno di questi quadrilateri si avrebbe
una diversa distanza da AB del circocentro.
L'unico caso in cui il problema diventa determinato e' quello del
quadrato di lato CD dove la distanza richiesta e' uguale ad 1.
Ma forse sbaglio ed invece c'e' sotto qualche trucco.
karl
infinite le circonferenze che passano per C e D.
Una volta costruita una di queste circonferenze ,vi sono poi
infiniti quadrilateri ABCD con le diagonali perpendicolari inscritti
in essa ed aventi CD=2.Per ognuno di questi quadrilateri si avrebbe
una diversa distanza da AB del circocentro.
L'unico caso in cui il problema diventa determinato e' quello del
quadrato di lato CD dove la distanza richiesta e' uguale ad 1.
Ma forse sbaglio ed invece c'e' sotto qualche trucco.
karl
Diciamo che c'è sotto qualche trucco...
Forse sbaglio, ma non è 1? Se ho detto cavolate scusatemi in anticipo... 
POTETE DARMI QUALCHE SUGGERIMENTO PER FAVORE? STO IMPAZZENDO
Ma è solo Piera ke sa svolgere qst esercizio??????????????
forse ha già la soluzione
Si sicuramente già ce l'ha... Tu hai provato a farlo?
Secondo me il trucco di cui parla sarà una considerazione geometrica.... Ma nn riesco a capire quale ho provato con le similitudini fra i triangoli ma niente...... Se ti viene in mente qualcosa nn esitare a dirmelo...
Secondo me il trucco di cui parla sarà una considerazione geometrica.... Ma nn riesco a capire quale ho provato con le similitudini fra i triangoli ma niente...... Se ti viene in mente qualcosa nn esitare a dirmelo...
Sinceramente non ho provato a farlo né ci proverò, questi problemi servono a rovinarti la giornata e a nient'altro 
Come non darti ragione.... Avrei da fare 100 pagine di storia per martedì... Ne ho fatte 40 poi ho visto qst problema ke a vista pareva semplice e ci sono stato sopra ore senza peraltro alcun risultato..... Non l'avessi mai fatto....Ora nn mi darò pace fino a quando nn so come si fa..... CIAO CIAO
mi dispiace per te 
Visto che forse per un po’ di tempo non potrò collegarmi, posto la soluzione.
Non è mia intenzione rovinare la giornata a nessuno!
Mi scuso se non posto il disegno, per questo cercherò di spiegare a parole come è fatta la mia figura.
Sia O il centro del cerchio e supponiamo che la diagonale AC del quadrilatero si trovi a sinistra di O (con A sopra O)mentre DB sotto O (con D a sinistra di O). Dimostriamo che la somma degli archi opposti CD e AB è pari a metà circonferenza. Dal centro O tracciamo il diametro parallelo a BD che interseca la circonferenza in due punti D’ (a sinistra di O) e B’ .
Essendo le rette BD e B’D’ parallele, gli archetti DD’ e BB’ sono uguali. Inoltre, essendo la retta AC perpendicolare alla retta D’B’, gli archi AD’ e C D’ sono uguali.
Consideriamo adesso la semicirconferenza individuata dall’arco B’D’ (quella sopra O) , si ha
tenendo conto quanto detto sopra ( arco DD’ = arco BB’ e arco AD’ = arco CD’ )
B’D’ = B’A + AD’ = B’A + CD’ (1)
CD’ = CD + DD’ = CD + BB’ (2)
Sostituendo la (2) nella (1) si ha
B’D’ = CD + BB’ + B’A = CD + AB
Questo teorema, sotto forma di esercizio, è presente su quasi tutti i libri di scuola superiore e quella che ho proposto è la mia soluzione, chiaramente non so se è la migliore.
Indichiamo ora con $r$ il raggio (dovendo essere il diametro $2r$ maggiore della corda CD =2 si ha $r>1$),
indichiamo con $2x$ l’angolo COD, poiché abbiamo dimostrato che la somma degli archi CD e AB è pari a metà circonferenza, si ha angolo BOA = $180° - 2x$.
Inoltre se indichiamo con OH la distanza di O dal lato AB si ha
angolo BOH = 90° -x
angolo OBH = x.
Applicando il teorema della corda si ha
$CD = 2r sen x$ ovvero
$sen x = 1/r$.
Consideriamo infine il triangolo rettangolo BOH:
$OH = OB sen x = r *1/r=1$.
Ci tengo a precisare che l’esercizio che ho trovato e che poi ho modificato recitava cosi’:
sia ABCD quadrilatero inscritto su circonferenza con diagonali perpendicolari, dimostrare
1) somma archi AD e BC uguale somma archi AB e CD.
2) distanza di ogni lato di ABCD dal centro del cerchio è pari a metà lunghezza lato opposto.
Non è mia intenzione rovinare la giornata a nessuno!
Mi scuso se non posto il disegno, per questo cercherò di spiegare a parole come è fatta la mia figura.
Sia O il centro del cerchio e supponiamo che la diagonale AC del quadrilatero si trovi a sinistra di O (con A sopra O)mentre DB sotto O (con D a sinistra di O). Dimostriamo che la somma degli archi opposti CD e AB è pari a metà circonferenza. Dal centro O tracciamo il diametro parallelo a BD che interseca la circonferenza in due punti D’ (a sinistra di O) e B’ .
Essendo le rette BD e B’D’ parallele, gli archetti DD’ e BB’ sono uguali. Inoltre, essendo la retta AC perpendicolare alla retta D’B’, gli archi AD’ e C D’ sono uguali.
Consideriamo adesso la semicirconferenza individuata dall’arco B’D’ (quella sopra O) , si ha
tenendo conto quanto detto sopra ( arco DD’ = arco BB’ e arco AD’ = arco CD’ )
B’D’ = B’A + AD’ = B’A + CD’ (1)
CD’ = CD + DD’ = CD + BB’ (2)
Sostituendo la (2) nella (1) si ha
B’D’ = CD + BB’ + B’A = CD + AB
Questo teorema, sotto forma di esercizio, è presente su quasi tutti i libri di scuola superiore e quella che ho proposto è la mia soluzione, chiaramente non so se è la migliore.
Indichiamo ora con $r$ il raggio (dovendo essere il diametro $2r$ maggiore della corda CD =2 si ha $r>1$),
indichiamo con $2x$ l’angolo COD, poiché abbiamo dimostrato che la somma degli archi CD e AB è pari a metà circonferenza, si ha angolo BOA = $180° - 2x$.
Inoltre se indichiamo con OH la distanza di O dal lato AB si ha
angolo BOH = 90° -x
angolo OBH = x.
Applicando il teorema della corda si ha
$CD = 2r sen x$ ovvero
$sen x = 1/r$.
Consideriamo infine il triangolo rettangolo BOH:
$OH = OB sen x = r *1/r=1$.
Ci tengo a precisare che l’esercizio che ho trovato e che poi ho modificato recitava cosi’:
sia ABCD quadrilatero inscritto su circonferenza con diagonali perpendicolari, dimostrare
1) somma archi AD e BC uguale somma archi AB e CD.
2) distanza di ogni lato di ABCD dal centro del cerchio è pari a metà lunghezza lato opposto.
Grazie mille per avermi aiutato..... Pensavo ci fosse una soluzione quasi immediata ke nn riuscivo a scorgere e nn mi sono addentrato in procedimenti più complessio.
A Presto
A Presto
"keji":
Forse sbaglio, ma non è 1? Se ho detto cavolate scusatemi in anticipo...
Ma questo utente quindi ha dato la soluzione corretta?
E nessuno ha battutto ciglio...
Chi sa sa!
Grazie a tutti!
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