Il mistero della funzione inversa
Ho difficoltà a maneggiare la formula della derivata della funzione inversa.
ad esempio
se la funzione è $y= 6x + sen2x$
qual è la derivata della sua inversa, ad es. in $x=pi/2 $
se faccio $1/(f'(x))$ ottengo $1/(6+2cos2x)$ che per $pi/2$ mi dà $1/4$
ma non sono convinto.
che mi dite? molte grazie
ad esempio
se la funzione è $y= 6x + sen2x$
qual è la derivata della sua inversa, ad es. in $x=pi/2 $
se faccio $1/(f'(x))$ ottengo $1/(6+2cos2x)$ che per $pi/2$ mi dà $1/4$
ma non sono convinto.
che mi dite? molte grazie
Risposte
Attento: l'inversa la puoi valutare in un valore di $y$, non di $x$.
Detta $f(x)=6x+sin(2x)$, sia $y mapsto g(y)$ la sua inversa (la f è invertibile dato che è suriettiva e monotona crescente). Allora la derivata di $g$ in $y_0$ è $1/(f'(x_0))$ dove $x_0=g(y_0)$.
Quindi se vuoi la derivata dell'inversa in $pi/2$ devi trovare l'unico $x$ tale che $6x+sin(2x)=pi/2$, e poi sostituire in $1/(f'(x))$.
Per esempio la derivata dell'inversa di $tg:(-pi/2,pi/2) to RR,\ x to tg(x)$ è $y mapsto 1/(tg'(arctg(y))) = 1/(1+tg^2(arctg(y))) = 1/(1+y^2)$. In questo caso l'espressione della derivata dell'inversa è facile perché l'espressione della derivata permette di sfruttare il fatto che la composizione della f con la sua inversa è l'identità. Ma non è sempre cosi'...
Detta $f(x)=6x+sin(2x)$, sia $y mapsto g(y)$ la sua inversa (la f è invertibile dato che è suriettiva e monotona crescente). Allora la derivata di $g$ in $y_0$ è $1/(f'(x_0))$ dove $x_0=g(y_0)$.
Quindi se vuoi la derivata dell'inversa in $pi/2$ devi trovare l'unico $x$ tale che $6x+sin(2x)=pi/2$, e poi sostituire in $1/(f'(x))$.
Per esempio la derivata dell'inversa di $tg:(-pi/2,pi/2) to RR,\ x to tg(x)$ è $y mapsto 1/(tg'(arctg(y))) = 1/(1+tg^2(arctg(y))) = 1/(1+y^2)$. In questo caso l'espressione della derivata dell'inversa è facile perché l'espressione della derivata permette di sfruttare il fatto che la composizione della f con la sua inversa è l'identità. Ma non è sempre cosi'...
martino, quello che dici l'avevo valutato. Resta il fatto, misterioso per me, che per certe funzioni il calcolo come l'ho fatto io funziona.
Nel caso in questione il calcolo che suggerisci tu è pazzesco, almeno per me dato che c'è da risolvere un'equazione "mista". Dato che l'esercizio è di quinta liceo credo ci sia un metodo più semplice per arrivare al risultato.
gabriello vi augura buona Pasqua (serenamente e pacatamente)
Nel caso in questione il calcolo che suggerisci tu è pazzesco, almeno per me dato che c'è da risolvere un'equazione "mista". Dato che l'esercizio è di quinta liceo credo ci sia un metodo più semplice per arrivare al risultato.
gabriello vi augura buona Pasqua (serenamente e pacatamente)
"gabriello47":
martino, quello che dici l'avevo valutato. Resta il fatto, misterioso per me, che per certe funzioni il calcolo come l'ho fatto io funziona.
Nel caso in questione il calcolo che suggerisci tu è pazzesco, almeno per me dato che c'è da risolvere un'equazione "mista". Dato che l'esercizio è di quinta liceo credo ci sia un metodo più semplice per arrivare al risultato.
Tenendo conto che sono al quinto anno di università a matematica e neanch'io saprei risolverlo (ho provato a vedere se da $6x+sin(2x)=pi/2$ si puo' dedurre in qualche modo $cos(2x)$, ma non mi pare proprio) io mi vedo spinto a chiederti se quell'esercizio è davvero comparso su un libro di liceo con la consegna "calcolare il valore finale". Mi sembra strano. E poi sei sicuro che si richieda il valore in $pi/2$ ? Per esempio se lo si richiedesse in $y=3 pi$ sarebbe ragionevole in quanto si puo' vedere a occhio che la x corrispondente è $pi/2$.
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