Identità. Urgente!!!!

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9 ott 2008, 18:03

Ciao. Non riesco a risolvere questa identità delle funzioni goniometriche.

"a" corrisponde ad "ALFA".Ho scritto a perchè non so come fare il simbolo greco.

(

[math]\sin \alpha + \cos \alpha[/math]

)^2-1 =

[math]\frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha}[/math]

Ieri ho mandato un post ma nessuno mi ha risposto.Se potete mi rispondete anche a quello.
Cmq ve lo riscrivo (Sul mio libro di matematica non ci sono):

1) Nella funzione omografica come si fa ha trovare l'equazione degli asintoti, i fuochi e le coordinate dei vertici?

2)Sull'iperbole riferita a rette parallele ai suoi assi come si fa ha trovare l'equazione degli asintoti e le coordinate dei vertici?

GRAZIE ANTICIPATAMENTE!!!!! :hi:hi:hi:thx:thx:thx

Risposte

ciampax

10 ott 2008, 11:05

Allora, per il primo membro hai

[math](\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha-1[/math]

[math]=1+2\sin\alpha\cos\alpha-1=\sin(2\alpha)[/math]

usando la formula di duplicazione del seno, mentre per il secondo membro, usando la definizione di tangente si ha

[math]\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{1}{1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}[/math]

[math]=\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}=
2\sin\alpha\cos\alpha[/math]

e quindi l'identità è dimostrata.

Per la seconda domanda, se hai la funzione omografica

[math]y=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad a,b,c,d\in\mathbb{R}, c\neq 0[/math]

le equazioni degli asintoti sono

[math]x=-\frac{d}{c},\qquad y=\frac{a}{c},[/math]

Per trovare i vertici devi trovare i punti di intersezione della funzione con la retta passante per il punto di intersezione degli asintoti e di coefficiente angolare 1, la cui equazione è

[math]y-\frac{a}{c}=x+\frac{d}{c}\Rightarrow cx-cy+d-a=0,[/math]

mentre per i fuochi devi fare un casino che adesso non ti dico. Ma gari ti scrivo tutto il procedimento per bene e te lo mando, ok?

La terza domanda credo sia formulata male: credo che tu stessi parlando dell'equazione dell'iperbole riferita ai suoi asintoti. In ogni caso, se l'equazione dell'iperbole è quella classica, cioè

[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]

si ha per gli asintoti

[math]y=\pm\frac{b}{a} x[/math]

mentre detto

[math]c=\sqrt{a^2-b^2}[/math]

si ha

[math]F(\pm c,0),\qquad V_1(\pm a,0),\quad V_2(0,\pm b)[/math]

dove F indica i fuochi,

[math]V_1[/math]

i vertici reali e

[math]V_2[/math]

i vertici immaginari.