Identità goniometriche
Risolvere la seguente identità goniometrica:
$ctg(\alpha+\beta)-ctg(\alpha-\beta)=(-2sen2\beta)/(cos2\beta-cos2\alpha)
Ho provato cosi,però penso sia sbagliato,oppure mi sono allungato troppo:
$ (ctg\alphactg\beta-1)/(ctg\alpha+ctg\beta)+(ctg\alphactg\beta+1)/(ctg\alpha-ctg\beta)=(-4sen\betacos\beta)/(cos^2\beta-sen^2\beta-cos^2\alpha+sen^2\alpha)$
Faccio il minimo comune multiplo e la somma nel primo membro,cosi da venire:
$(2ctg^2\alphactg\beta+2ctg\beta)/((ctg\alpha+ctg\beta)(ctg\alpha-ctg\beta))
sostituisco al posto di $ctg$ metto $cos/(sen)$(naturalmente con $alpha e beta$,moltiplico, faccio minimo comune multiplo al denominatore e al numeratore,semplifico fino ad ottenere:
$(2cos^2\alphacos^2\beta+2cos\betasen^2\alpha+2cos\betasen\beta)/(cos^2\alphasen^2\beta-cos^2\betasen^2\alpha)$
Ora(se fino a qui è giusto)non so più come andare avanti...
$ctg(\alpha+\beta)-ctg(\alpha-\beta)=(-2sen2\beta)/(cos2\beta-cos2\alpha)
Ho provato cosi,però penso sia sbagliato,oppure mi sono allungato troppo:
$ (ctg\alphactg\beta-1)/(ctg\alpha+ctg\beta)+(ctg\alphactg\beta+1)/(ctg\alpha-ctg\beta)=(-4sen\betacos\beta)/(cos^2\beta-sen^2\beta-cos^2\alpha+sen^2\alpha)$
Faccio il minimo comune multiplo e la somma nel primo membro,cosi da venire:
$(2ctg^2\alphactg\beta+2ctg\beta)/((ctg\alpha+ctg\beta)(ctg\alpha-ctg\beta))
sostituisco al posto di $ctg$ metto $cos/(sen)$(naturalmente con $alpha e beta$,moltiplico, faccio minimo comune multiplo al denominatore e al numeratore,semplifico fino ad ottenere:
$(2cos^2\alphacos^2\beta+2cos\betasen^2\alpha+2cos\betasen\beta)/(cos^2\alphasen^2\beta-cos^2\betasen^2\alpha)$
Ora(se fino a qui è giusto)non so più come andare avanti...
Risposte
Decisamente lungo, quindi è probabile qualche errore di distrazione. Consiglio di lavorare al solo primo membro con questo metodo: trasforma subito in seno e coseno e dai denominatore comune. A numeratore trovi una formula di somma, con la quale ottieni rapidamente il $sen 2beta$; a denominatore applichi Werner.
C'è un piccolo problema...ancora non abbiamo fatto Werner
Allora è un po' più lungo; a denominatore però, dopo i tuoi calcoli, puoi usare le formule di bisezione ed ottieni comunque il risultato. Oppure puoi portare tutto a coseno (o seno, è indifferente), così:
$cos^2\alphasen^2\beta-cos^2\betasen^2\alpha=cos^2alpha(1-cos^2beta)-cos^2beta(1-cos^2alpha)=cos^2alpha-cos^2beta$
e solo allora applicare le formule di bisezione (o, se preferisci, applicare a secondo membro la formula $cos2alpha=2cos^2alpha-1$ e simile per $beta$)
$cos^2\alphasen^2\beta-cos^2\betasen^2\alpha=cos^2alpha(1-cos^2beta)-cos^2beta(1-cos^2alpha)=cos^2alpha-cos^2beta$
e solo allora applicare le formule di bisezione (o, se preferisci, applicare a secondo membro la formula $cos2alpha=2cos^2alpha-1$ e simile per $beta$)
Ti volevo chiedere:sei sicura che il mio risultato finale sia giusto?
Il numeratore come me lo trasformo?
A me viene cosi:
$(2cos^2\alphacos^2\beta+2cos\betasen^2\alpha+2cos\betasen\beta)/(cos^2\alpha-cos^2\beta)=(-4sen\betacos\beta)/(2cos^2\beta-2cos^2\alpha)$
Dopodiché:
$(2cos^2\alphacos^2\beta+2cos\betasen^2\alpha+2cos\betasen\beta)/(cos^2\alpha-cos^2\beta)=(2sen\alphacos\beta)/(cos^2\alpha-cos^2\beta)$
Giusto fino a qui?
Come faccio ora per il numeratore?
Grazie,e infine Buona domenica!^^
Il numeratore come me lo trasformo?
A me viene cosi:
$(2cos^2\alphacos^2\beta+2cos\betasen^2\alpha+2cos\betasen\beta)/(cos^2\alpha-cos^2\beta)=(-4sen\betacos\beta)/(2cos^2\beta-2cos^2\alpha)$
Dopodiché:
$(2cos^2\alphacos^2\beta+2cos\betasen^2\alpha+2cos\betasen\beta)/(cos^2\alpha-cos^2\beta)=(2sen\alphacos\beta)/(cos^2\alpha-cos^2\beta)$
Giusto fino a qui?
Come faccio ora per il numeratore?
Grazie,e infine Buona domenica!^^
Avevo guardato il solo denominatore (che è giusto), pensando che a numeratore tu avessi seguito il mio ragionamento. Osservando ora i tuoi calcoli, mi accorgo che a numeratore hai messo un addendo di troppo e commesso anche altri errori: che gli addendi dovessero essere solo due si vede facilmente se nel penultimo passaggio (giusto) metti in evidenza $cotg beta$. Il numeratore giusto è
$2cos^2\alphacos\betasenbeta+2cos\betasenbetasen^2\alpha=2cos betasenbeta(cos^2alpha+sen^2alpha)=sen 2 beta$
$2cos^2\alphacos\betasenbeta+2cos\betasenbetasen^2\alpha=2cos betasenbeta(cos^2alpha+sen^2alpha)=sen 2 beta$
Mi dispiace non ho capito come devo fare per il numeratore del 1 membro.
Lavoro sul solo primo membro, partendo dal tuo penultimo passaggio:
$(2ctg^2\alphactg\beta+2ctg\beta)/((ctg\alpha+ctg\beta)(ctg\alpha-ctg\beta))=(2cotg beta(cotg^2 alpha+1))/(cotg^2alpha-cotg^2beta)=$ $(2(cos beta)/(sen beta)((cos^2 alpha)/(sen^2 alpha)+1))/((cos^2 alpha)/(sen^2alpha)-(cos^2beta)/(sen^2beta))=$ $(2sen beta cos beta(cos^2alpha+sen^2alpha))/(cos^2alphasen^2 beta-sen^2alpha cos^2beta)=....$
$(2ctg^2\alphactg\beta+2ctg\beta)/((ctg\alpha+ctg\beta)(ctg\alpha-ctg\beta))=(2cotg beta(cotg^2 alpha+1))/(cotg^2alpha-cotg^2beta)=$ $(2(cos beta)/(sen beta)((cos^2 alpha)/(sen^2 alpha)+1))/((cos^2 alpha)/(sen^2alpha)-(cos^2beta)/(sen^2beta))=$ $(2sen beta cos beta(cos^2alpha+sen^2alpha))/(cos^2alphasen^2 beta-sen^2alpha cos^2beta)=....$
Ok grazie mille,è risultata...però volevo chiederti,non mi piace come si è giunti alla conclusione finale,cioè non ci sarebbe un metodo più breve e veloce?O uno dove non si devono fare tutte queste 'sostituzione'?
C'è, ed è quello che ti ho indicato nel mio primo intervento. Prima di ogni altro calcolo, a primo membro trasforma tutto in seno e coseno e dai denominatore comune; per non impazzire col compilatore lavoro separatamente col numeratore N e il denominatore D.
$N=sen(alpha-beta)cos(alpha+beta)-sen(alpha+beta)cos(alpha-beta)=sen[(alpha-beta)-(alpha+beta)]=sen(-2beta)=-sen2beta$
Per il denominatore temo che la tua unica possibilità sia fare i calcoli nel modo precedente; se tu conoscessi la formula di Werner $senp*senq=1/2[cos(p-q)-cos(p+q)]$ faresti invece
$D=sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)=1/2[cos(alpha+beta-alpha+beta)-cos(alpha+beta+alpha-beta)]=1/2(cos2beta-cos2alpha)$
$N=sen(alpha-beta)cos(alpha+beta)-sen(alpha+beta)cos(alpha-beta)=sen[(alpha-beta)-(alpha+beta)]=sen(-2beta)=-sen2beta$
Per il denominatore temo che la tua unica possibilità sia fare i calcoli nel modo precedente; se tu conoscessi la formula di Werner $senp*senq=1/2[cos(p-q)-cos(p+q)]$ faresti invece
$D=sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)=1/2[cos(alpha+beta-alpha+beta)-cos(alpha+beta+alpha-beta)]=1/2(cos2beta-cos2alpha)$
"giammaria":
C'è, ed è quello che ti ho indicato nel mio primo intervento. Prima di ogni altro calcolo, a primo membro trasforma tutto in seno e coseno e dai denominatore comune; per non impazzire col compilatore lavoro separatamente col numeratore N e il denominatore D.
$N=sen(alpha-beta)cos(alpha+beta)-sen(alpha+beta)cos(alpha-beta)=sen[(alpha-beta)-(alpha+beta)]=sen(-2beta)=-sen2beta$
Mmmh...non capisco come fa a trasformarsi:$ctg(\alpha+beta)-ctg(\alpha-\beta)$ in quello che dici tu?
$cotg(alpha+beta)-cotg(alpha-beta)=(cos(alpha+beta))/(sen(alpha+beta))-(cos(alpha-beta))/(sen(alpha-beta))=(cos(alpha+beta)sen(alpha-beta)-cos(alpha-beta)sen(alpha+beta))/(sen(alpha+beta)sen(alpha-beta))$
quindi
$N=cos(alpha+beta)sen(alpha-beta)-cos(alpha-beta)sen(alpha+beta)$
$D=sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)$
quindi
$N=cos(alpha+beta)sen(alpha-beta)-cos(alpha-beta)sen(alpha+beta)$
$D=sen(alpha+beta)sen(alpha-beta)$
$N=sen[(alpha-beta)-(alpha+beta)]=sen(-2beta)=-sen2beta$
Ma non capisco cosa fai in questi passaggi?
$(alpha-beta)-(alpha+beta)=alpha-beta-alpha-beta=-2beta$
Poi ho applicato la formula $sen(-x)=-senx$
Poi ho applicato la formula $sen(-x)=-senx$
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