Identità goniometriche

[Phaedrus1]

Mi aiutate con queste identità?

$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)=(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

Qui ho provato sia la formula di duplicazione della tangente sia la trasformazione $tan2alpha=(sin2alpha)/(cos2alpha)$ ma non mi trovo.

Quest'altra invece mi viene, solo che ho usato un metodo un po' macchinoso per cui vorrei sapere se ce n'è uno più breve.

$(sinalpha-sinbeta)/(sin(alpha-beta))=(cosfrac{alpha+beta}{2})/(cosfrac{alpha-beta}{2})$

applico prostaferesi al numeratore

$(2cosfrac{alpha+beta}{2}sinfrac{alpha-beta}{2})/(sin(alpha-beta))=(cosfrac{alpha+beta}{2})/(cosfrac{alpha-beta}{2})$

dopodiché ho considerato che $sin(alpha-beta)=2sinfrac{alpha-beta}{2}cosfrac{alpha-beta}{2}$, quindi $sinfrac{alpha-beta}{2}=(sin(alpha-beta))/(2cosfrac{alpha-beta}{2})$

sostituendo e semplificando l'identità è verificata.

[Sk_Anonymous]

"Phaedrus":Mi aiutate con queste identità?

$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)=(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)$

Primo membro
$(tan2alpha+sin2alpha)/(cos^2alpha)=((sin2alpha)/(cos2alpha)+sin2alpha)/(cos^2alpha)=(sin2alpha+cos2alphasin2alpha)/(cos2alpha*cos^2alpha)=(sin2alpha)/(cos2alpha)*(1+cos2alpha)/(cos^2alpha)=tan2alpha*(1+2cos^2alpha-1)/(cos^2alpha)=2*tan2alpha;$
Secondo membro
$(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)=((sin2alpha)/(cos2alpha)-sin2alpha)/(sin^2alpha)=(sin2alpha-cos2alphasin2alpha)/(cos2alpha*sin^2alpha)=(sin2alpha)/(cos2alpha)*(1-cos2alpha)/(sin^2alpha)=tan2alpha*(1-1+2sin^2alpha)/(sin^2alpha)=2*tan2alpha;$$

"Phaedrus":
Quest'altra invece mi viene, solo che ho usato un metodo un po' macchinoso per cui vorrei sapere se ce n'è uno più breve.

$(sinalpha-sinbeta)/(sin(alpha-beta))=(cosfrac{alpha+beta}{2})/(cosfrac{alpha-beta}{2})$

Il metodo è corretto basta applicare immediatamente sia a numeratore che a denominatore le due trasformazioni, il primo membro diventa
$(sinalpha-sinbeta)/(sin(alpha-beta))=(2cosfrac{alpha+beta}{2}sinfrac{alpha-beta}{2})/(2sinfrac{alpha-beta}{2}cosfrac{alpha-beta}{2})=(cosfrac{alpha+beta}{2})/(cosfrac{alpha-beta}{2})$
e l'identità è verificata