Identità
Non riesco a risolvere quest'identità.
Ci ho provato in tutti i modi ma non ci riesco.
$tg((α+60°)/2)(2cosα+1)^2=(4cos^2α-1)/(tg(30°-α/2))$
Ho usato formule di addizione, bisezione ma sembra impossibile da risolvere
Ci ho provato in tutti i modi ma non ci riesco.
$tg((α+60°)/2)(2cosα+1)^2=(4cos^2α-1)/(tg(30°-α/2))$
Ho usato formule di addizione, bisezione ma sembra impossibile da risolvere
Risposte
Riscrivo la formula, che sul mio computer risulta illeggibile:
$tg((alpha+60^o)/2)(2cos alpha+1)^2=(4cos^2 alpha-1)/(tg(30^o-alpha/2))$
Io l'ho verificata con metodi non del tutto ortodossi; suggerisco questo procedimento: in entrambi i membri lasci in evidenza il fattore uguale $(2cos alpha+1)$ ed esprimi tutto il resto in funzione di $t=tg(alpha/2)$ con le formule di somma della tangente e quelle parametriche per il coseno. Non dovrebbe dare difficoltà, ma non ho provato.
$tg((alpha+60^o)/2)(2cos alpha+1)^2=(4cos^2 alpha-1)/(tg(30^o-alpha/2))$
Io l'ho verificata con metodi non del tutto ortodossi; suggerisco questo procedimento: in entrambi i membri lasci in evidenza il fattore uguale $(2cos alpha+1)$ ed esprimi tutto il resto in funzione di $t=tg(alpha/2)$ con le formule di somma della tangente e quelle parametriche per il coseno. Non dovrebbe dare difficoltà, ma non ho provato.
"caseyn27":
Non riesco a risolvere quest'identità.
Ci ho provato in tutti i modi ma non ci riesco.
$tg((α+60°)/2)(2cosα+1)^2=(4cos^2α-1)/(tg(30°-α/2))$
Ho usato formule di addizione, bisezione ma sembra impossibile da risolvere
Prima di tutto porta l'espressione che contiene il coseno che c'è a sinistra dell'uguale, a destra come denominatore e ricorda che $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
e quindi $4cos^2α-1=(2cosa-1)(2cosa+1)$
Poi porta la tangente che c'è a denominatore a destra, a sinistra dell'uguale.
Scrivi le tangenti come seno fratto coseno e usa le formule di Werner (se non te le ricordi le trovi immediatamente su Wikipedia)
Le formule di Werner ancora le dobbiamo fare...
"caseyn27":
Le formule di Werner ancora le dobbiamo fare...
Discendono direttamente da quelle di prostaferesi se hai fatto quelle
Nemmeno quelle
Formule di duplicazione,sdoppiamento e bisezione
"caseyn27":
Formule di duplicazione,sdoppiamento e bisezione
Puoi anche usare le formule di duplicazione o di bisezione (solo che ti viene un po' più lungo)
E non ci riesco, viene lunghissimo
"caseyn27":
E non ci riesco, viene lunghissimo
Guarda che non viene affatto lunghissimo.
L'ho fatto io e mi è uscito in poco tempo.
Poi se vuoi, ti posto i calcoli
Io avevo consigliato le formule parametriche: hai provato? Se non le conosci ancora, sono solo la risposta alla domanda, perfettamente alla tua portata: "esprimere $cosa$ (e anche il seno, ma qui non ci serve) in funzione di $t=tg(a/2)$". I calcoli sono:
$cosa=cos^2a/2-sen^2a/2=cos^2a/2(1-t^2)=(1-t^2)/(1+t^2)$
dove l'ultima eguaglianza proviene dall'esprimere il coseno in funzione della tangente dello stesso angolo.
Quanto alla soluzione di Misanino, utilizza le proprietà delle identità: è certo lecito, ma quando si chiede di verificare un'identità di solito si sottintende che i due membri devono essere calcolati separatamente, fino a due risultati uguali. Confesso che anch'io ho usato quelle proprietà, ma poi ho bollato il mio operato come "poco ortodosso".
$cosa=cos^2a/2-sen^2a/2=cos^2a/2(1-t^2)=(1-t^2)/(1+t^2)$
dove l'ultima eguaglianza proviene dall'esprimere il coseno in funzione della tangente dello stesso angolo.
Quanto alla soluzione di Misanino, utilizza le proprietà delle identità: è certo lecito, ma quando si chiede di verificare un'identità di solito si sottintende che i due membri devono essere calcolati separatamente, fino a due risultati uguali. Confesso che anch'io ho usato quelle proprietà, ma poi ho bollato il mio operato come "poco ortodosso".
"giammaria":
Quanto alla soluzione di Misanino, utilizza le proprietà delle identità: è certo lecito, ma quando si chiede di verificare un'identità di solito si sottintende che i due membri devono essere calcolati separatamente, fino a due risultati uguali. Confesso che anch'io ho usato quelle proprietà, ma poi ho bollato il mio operato come "poco ortodosso".
Verificare un'identità è verificare un'identità e basta.
Le operazioni che in genere sono lecite si possono fare e quelle che non si possono fare in genere non si possono fare.
Posso moltiplicare per la tangente perchè era già a denominatore e quindi per avere senso deve essere diversa da zero.
Non c'è nulla di poco ortodosso in questo.
Poi si possono anche usare le formule parametriche, certo.
Io in genere non le uso semplicemente perchè non me le ricordo mai. Tutto qui.
Comunque ho provato con la duplicazione e viene velocemente (ripeto, verrà probabilmente velocemente anche con le parametriche, non lo nego).
Entambi i metodi sono assolutamente leciti. Hai la più completa scelta
se potresti...
è l'unica identità che non riesco a risolvere
è l'unica identità che non riesco a risolvere
"caseyn27":
Non riesco a risolvere quest'identità.
Ci ho provato in tutti i modi ma non ci riesco.
$tg((α+60°)/2)(2cosα+1)^2=(4cos^2α-1)/(tg(30°-α/2))$
Ho usato formule di addizione, bisezione ma sembra impossibile da risolvere
Devi verificare $tg((α+60°)/2)(2cosα+1)^2=(4cos^2α-1)/(tg(30°-α/2))$
cioè $tg((α+60°)/2)tg(30°-α/2)(2cosα+1)^2=(2cosα+1)(2cosα-1)$
cioè $(sen(30°+α/2)sen(30°-α/2))/(cos(α/2+30°)cos(30°-α/2))(2cosα+1)^2=(2cosα+1)(2cosα-1)$
cioè con le formule di addizione
$((sen(30°)cos(α/2)+sen(α/2)cos(30°))(sen(30°)cos(α/2)-sen(α/2)cos(30°)))/((cos(30°)cos(α/2)-sen(α/2)sen(30°))(cos(30°)cos(α/2)+sen(α/2)sen(30°)))(2cosα+1)^2=(2cosα+1)(2cosα-1)$
sfruttando ora il fatto che $sen(30°)=1/2$ e $cos(30)=sqrt(3)/2$ si ha
$((1/2cos(α/2)+sen(α/2)sqrt(3)/2)(1/2cos(α/2)-sen(α/2)sqrt(3)/2))/((sqrt(3)/2cos(α/2)-sen(α/2)1/2)(sqrt(3)/2cos(α/2)+sen(α/2)1/2))(2cosα+1)^2=(2cosα+1)(2cosα-1)$
e sfruttando il fatto che $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ hai
$(1/4cos^2(α/2)-3/4sen^2(α/2))/(3/4cos^2(α/2)-1/4sen^2(α/2))(2cosα+1)^2=(2cosα+1)(2cosα-1)$
e quindi semplificando il 4 ho
$(cos^2(α/2)-3sen^2(α/2))/(3cos^2(α/2)-sen^2(α/2))(2cosα+1)^2=(2cosα+1)(2cosα-1)$
Ora voglio dividere per $(2cosα+1)^2$ e quindi questa quantità deve essere diversa da zero.
Ora $(2cosα+1)!=0$ se e solo se $cos\alpha!=-1/2$ se e solo se $alpha!=120°+2k\pi$ e $\alpha!=240°+2k\pi$
Considereremo dopo questi 2 specifici valori di $\alpha$. Ora supponiamo di poter dividere per $(2cosα+1)^2$
allora il tutto diventa
$(cos^2(α/2)-3sen^2(α/2))/(3cos^2(α/2)-sen^2(α/2))=(2cosα-1)/(2cosα+1)$
Ma $(2cosα-1)/(2cosα+1)=(2cos(2*\alpha/2)-1)/(2cos(2*\alpha/2)+1)$
e quindi con le formule di duplicazione $(2cosα-1)/(2cosα+1)=(2(cos^2(\alpha/2)-sen^2(\alpha/2))-1)/(2(cos^2(\alpha/2)-sen^2(\alpha/2))+1)$
Ora per la relazione fondamentale $1=cos^2(\alpha/2)+sen^2(\alpha/2)$ e quindi ottengo
$(2cosα-1)/(2cosα+1)=(2cos^2(\alpha/2)-2sen^2(\alpha/2)-cos^2(\alpha/2)-sen^2(\alpha/2))/(2cos^2(\alpha/2)-2sen^2(\alpha/2)+cos^2(\alpha/2)+sen^2(\alpha/2))$
cioè
$(2cosα-1)/(2cosα+1)=(cos^2(α/2)-3sen^2(α/2))/(3cos^2(α/2)-sen^2(α/2))$
e resta così provata l'identità per $alpha!=120°+2k\pi$ e $\alpha!=240°+2k\pi$
Se invece $\alpha$ è uno di questi 2 valori basta verificare direttamente se l'identità è verificata o no
Ti ringrazio moltissimo,
mi dispiace che hai dovuto scrivere tutti questi passaggi.
Comunque non era così semplice da risolvere per uno che ha appena studiato queste formule.
mi dispiace che hai dovuto scrivere tutti questi passaggi.
Comunque non era così semplice da risolvere per uno che ha appena studiato queste formule.
"caseyn27":
Ti ringrazio moltissimo,
mi dispiace che hai dovuto scrivere tutti questi passaggi.
Comunque non era così semplice da risolvere per uno che ha appena studiato queste formule.
Beh certo, se le hai appena fatte.
Però capisci che ho solo applicato:
2 formule di addizione
2 formule di duplicazione
1 identità fondamentale
Non preoccuparti comunque. Un po' di esercizi e diventerai un campione
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