HELP! VI PREGO AIUTATEMIII
Mi aiutereste a fare questo problema di geometria analitica? non so neanche da dove cominciare! per favore se mi sapete spiegare anche il procedimento...
1-Tra tutti i triangoli ABC di base AB con A(2;0), B(0;2) e area 16 considerare quelli per i quali il terzo vertice C appartiene alla retta y=2x. Determinare le coordinate di C.
2-Determinare i punti P del piano equidistanti da A(1;2) e B(3;4) e tali che l'area del triangolo APB sia uguale a 8. Congiunti tali punti con A e B, calcolare il perimetro del quadrilatero così formato.
3-Dati i punti A(1;2) e B(4;0), determinare i punti C sulla bisettrice del 1° e 3° quadrante tali che l'area del triangolo ABC sia uguale a 3/2.
1-Tra tutti i triangoli ABC di base AB con A(2;0), B(0;2) e area 16 considerare quelli per i quali il terzo vertice C appartiene alla retta y=2x. Determinare le coordinate di C.
2-Determinare i punti P del piano equidistanti da A(1;2) e B(3;4) e tali che l'area del triangolo APB sia uguale a 8. Congiunti tali punti con A e B, calcolare il perimetro del quadrilatero così formato.
3-Dati i punti A(1;2) e B(4;0), determinare i punti C sulla bisettrice del 1° e 3° quadrante tali che l'area del triangolo ABC sia uguale a 3/2.
Risposte
Nel problema 1 è relativamente semplice:
devi trovare le coordinate di C e, secondo il testo stesso, C appartiene alla retta y=2x dunque le sue coordinate sono C(x;2x) (dato che la sua y=2x)
Fatto ciò devi determinare una relazione che ti permetta di trovare il valore di questa x dunque, sfruttando il testo dato, sai che l'area del triangolo è 16 per cui sfrutti tale relazione. L'area del triangolo è (base*altezza) /2
perciò fai (AB * CH) / 2
AB lo trovi facilmente perchè ne hai già le coordinate e lo trovi con pitagora.
CH è la distanza del punto C dalla retta passante per AB. Dunque trovi la retta passante per due punti, calcolandone il coefficiente angolare e usando la formula della retta passante per un punto.
m (coeff.angolare) = (y2-y1) /(x2-x1) in questo caso m AB = (2-0)/(0-2)= -1
sfruttando la formula y-y1 = m(x-x1) applicata al punto A o B trovi la retta passante per AB (prendendo A) --> y - 0 = -1(x-2) --> y=2-x --> y+x-2= 0
facendo la distanza del punto C da tale retta trovi CH
CH= a(xC)+ b (yC)+ c / radice quadrata(a^2 + b^2)
in questo caso --> x^2 + 2xy - 2 / rad quad (1+1)
--> x^2+2xy-2 / rad 2
ora fai AB * CH / 2 = 16
AB = rad 8 = 2 rad 2
resta dopo le semplificazioni x^2 + 2xy-2 = 16
Trovi la y= (18-x^2) / 2x e la eguagli a 2x che è la y di C
verrà fuori X= +/- radice 18/5 trovata la x la moltiplichi per 2 e trovi la y di C....
Risultato X1/Y1 di C --> (rad 18/5; 2 rad 18/5)
X2/Y2 di C ---> (-rad 18/5; -2 rad 18/5)
so che ho fatto un po' di casino perciò se hai problemi dimmelo pure :)
Aggiunto 10 minuti più tardi:
il problema 2:
1° metà:
prendi un punto di coordinate P(x;y)
devi crearti un sistema, la prima condizione è PA = PB
PA= rad quad (x+2)^2 + y^2 = rad quad (x^2+4x+4+y^2)
PB= " " (y+2)^2 + x^2 = " " (x^2+y^2+4y+4)
PB=PA porterà a 4x=4y --> x=y e lo metti nel sistema
poi la seconda condizione è che l'area di APB = 8
utilizzando il procedimento dell'esercizio 1 troverai i due punti P e P' ;)
basta che trovi AB e poi PH (come abbiamo trovato su CH facendo la retta per AB e la distanza punto retta)
troverai un'equazione, basta che ti ricordi che y=x dunque verrà un'equazione a una sola incognita (con la x, o solo y se preferisci) e risolvendola avrai i punti P e P'.
Trovati P e P' basterà fare AP+PB+AP'+BP'=.... e troverai la soluzione alla seconda parte...se non ti torna qualcosa laddove ho saltato i calcoli dimmelo pure ;)
Aggiunto 12 minuti più tardi:
il 3° problema è più facile:
prendi un punto C (x;y) , dato che C deve appartenere alla bisettrice si trova sulla retta di equazione x= y (bisettrice 1°-3° quadrante)
dunque C avrà coordinate C(x;x)
trovi AB= rad quad 29
poi trovi il punto H che è intersezione tra la retta per AB e la bisettrice
m(AB) è sempre (y2-y1) /(x2-x1) = -2/3
la retta passante per AB: y-0=-2/3 * (x-4) --> y=(-2/3)x + 8/3
metti a sistema con x= y e avrai x=(-2/3)x + 8/3)
dunque x=8/5 e anche y sarà 8/5 perchè x=y sulla bisettrice.
ora hai H(8/5;8/5) trovi CH, fai( CH * AB) / 2 = 3/2 e otterrai le coordinate C ;) ricorda che facendo CH potrebbero venir fuori sia le incognite x che y ma dato che appartiene alla bisettrice x=y dunque o le trasformi tutte in y o tutte in x, coem vuoi...facendo la formula dell'area e sostiutendo le x in y (o viceversa) alla fine avrai un equazione solo con 1 incognita e trovandoal troverai anche l'altra perchè sono uguali :)probabilmente avrai 2 risultati, uno positivo e uno negativo, questo è perchè potrebbero esistere due punti C e C' che soddisfano il testo del problema, in caso contratio C è solo uno.
devi trovare le coordinate di C e, secondo il testo stesso, C appartiene alla retta y=2x dunque le sue coordinate sono C(x;2x) (dato che la sua y=2x)
Fatto ciò devi determinare una relazione che ti permetta di trovare il valore di questa x dunque, sfruttando il testo dato, sai che l'area del triangolo è 16 per cui sfrutti tale relazione. L'area del triangolo è (base*altezza) /2
perciò fai (AB * CH) / 2
AB lo trovi facilmente perchè ne hai già le coordinate e lo trovi con pitagora.
CH è la distanza del punto C dalla retta passante per AB. Dunque trovi la retta passante per due punti, calcolandone il coefficiente angolare e usando la formula della retta passante per un punto.
m (coeff.angolare) = (y2-y1) /(x2-x1) in questo caso m AB = (2-0)/(0-2)= -1
sfruttando la formula y-y1 = m(x-x1) applicata al punto A o B trovi la retta passante per AB (prendendo A) --> y - 0 = -1(x-2) --> y=2-x --> y+x-2= 0
facendo la distanza del punto C da tale retta trovi CH
CH= a(xC)+ b (yC)+ c / radice quadrata(a^2 + b^2)
in questo caso --> x^2 + 2xy - 2 / rad quad (1+1)
--> x^2+2xy-2 / rad 2
ora fai AB * CH / 2 = 16
AB = rad 8 = 2 rad 2
resta dopo le semplificazioni x^2 + 2xy-2 = 16
Trovi la y= (18-x^2) / 2x e la eguagli a 2x che è la y di C
verrà fuori X= +/- radice 18/5 trovata la x la moltiplichi per 2 e trovi la y di C....
Risultato X1/Y1 di C --> (rad 18/5; 2 rad 18/5)
X2/Y2 di C ---> (-rad 18/5; -2 rad 18/5)
so che ho fatto un po' di casino perciò se hai problemi dimmelo pure :)
Aggiunto 10 minuti più tardi:
il problema 2:
1° metà:
prendi un punto di coordinate P(x;y)
devi crearti un sistema, la prima condizione è PA = PB
PA= rad quad (x+2)^2 + y^2 = rad quad (x^2+4x+4+y^2)
PB= " " (y+2)^2 + x^2 = " " (x^2+y^2+4y+4)
PB=PA porterà a 4x=4y --> x=y e lo metti nel sistema
poi la seconda condizione è che l'area di APB = 8
utilizzando il procedimento dell'esercizio 1 troverai i due punti P e P' ;)
basta che trovi AB e poi PH (come abbiamo trovato su CH facendo la retta per AB e la distanza punto retta)
troverai un'equazione, basta che ti ricordi che y=x dunque verrà un'equazione a una sola incognita (con la x, o solo y se preferisci) e risolvendola avrai i punti P e P'.
Trovati P e P' basterà fare AP+PB+AP'+BP'=.... e troverai la soluzione alla seconda parte...se non ti torna qualcosa laddove ho saltato i calcoli dimmelo pure ;)
Aggiunto 12 minuti più tardi:
il 3° problema è più facile:
prendi un punto C (x;y) , dato che C deve appartenere alla bisettrice si trova sulla retta di equazione x= y (bisettrice 1°-3° quadrante)
dunque C avrà coordinate C(x;x)
trovi AB= rad quad 29
poi trovi il punto H che è intersezione tra la retta per AB e la bisettrice
m(AB) è sempre (y2-y1) /(x2-x1) = -2/3
la retta passante per AB: y-0=-2/3 * (x-4) --> y=(-2/3)x + 8/3
metti a sistema con x= y e avrai x=(-2/3)x + 8/3)
dunque x=8/5 e anche y sarà 8/5 perchè x=y sulla bisettrice.
ora hai H(8/5;8/5) trovi CH, fai( CH * AB) / 2 = 3/2 e otterrai le coordinate C ;) ricorda che facendo CH potrebbero venir fuori sia le incognite x che y ma dato che appartiene alla bisettrice x=y dunque o le trasformi tutte in y o tutte in x, coem vuoi...facendo la formula dell'area e sostiutendo le x in y (o viceversa) alla fine avrai un equazione solo con 1 incognita e trovandoal troverai anche l'altra perchè sono uguali :)probabilmente avrai 2 risultati, uno positivo e uno negativo, questo è perchè potrebbero esistere due punti C e C' che soddisfano il testo del problema, in caso contratio C è solo uno.
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