Help trovare parabola
determinare le parabole aventi asse parallelo all'asse y, tangenti in A(2;0) alla retta t: y=-6x+12 e passanti rispettivamente per i punti (0;4) e per l'origine.
lo so che è un problema stupido, ma proprio non riesco a risolverlo. allora dire che l'asse è parallelo alle y vuol dire che è $x=-b/2a$, poi impongo il passaggio per A ottenendo: 4a+2b+c=0 e poi la prima parabola ha c=4, mentre la seconda c=0.
ma non riesco a trovare l'equazione
grazie in anticipo
lo so che è un problema stupido, ma proprio non riesco a risolverlo. allora dire che l'asse è parallelo alle y vuol dire che è $x=-b/2a$, poi impongo il passaggio per A ottenendo: 4a+2b+c=0 e poi la prima parabola ha c=4, mentre la seconda c=0.
ma non riesco a trovare l'equazione
grazie in anticipo
Risposte
"sweet swallow":
determinare le parabole aventi asse parallelo all'asse y, tangenti in A(2;0) alla retta t: y=-6x+12 e passanti rispettivamente per i punti (0;4) e per l'origine.
lo so che è un problema stupido, ma proprio non riesco a risolverlo. allora dire che l'asse è parallelo alle y vuol dire che è $x=-b/2a$, poi impongo il passaggio per A ottenendo: 4a+2b+c=0 e poi la prima parabola ha c=4, mentre la seconda c=0.
ma non riesco a trovare l'equazione
grazie in anticipo
determinare le parabole aventi asse parallelo all'asse y, quindi con equazione del tipo $y=ax^2+bx+c$, le condizioni che hai posto vanno bene ti manca la condizione di tangenza, ovvero devi mettere a sistema la retta tangente con la parabola e imporre che l'equazione di secondo grado che risolve il sistema abbia $Delta=0$ ovvero una sola soluzione doppia.
grazie amelia
"amelia":
[quote="sweet swallow"]determinare le parabole aventi asse parallelo all'asse y, tangenti in A(2;0) alla retta t: y=-6x+12 e passanti rispettivamente per i punti (0;4) e per l'origine.
lo so che è un problema stupido, ma proprio non riesco a risolverlo. allora dire che l'asse è parallelo alle y vuol dire che è $x=-b/2a$, poi impongo il passaggio per A ottenendo: 4a+2b+c=0 e poi la prima parabola ha c=4, mentre la seconda c=0.
ma non riesco a trovare l'equazione
grazie in anticipo
determinare le parabole aventi asse parallelo all'asse y, quindi con equazione del tipo $y=ax^2+bx+c$, le condizioni che hai posto vanno bene ti manca la condizione di tangenza, ovvero devi mettere a sistema la retta tangente con la parabola e imporre che l'equazione di secondo grado che risolve il sistema abbia $Delta=0$ ovvero una sola soluzione doppia.[/quote]
C'è qualcosa che non va nel testo: la parabola per caso ha l'asse parallelo all'asse delle $x$?
Francesco Daddi
"franced":
C'è qualcosa che non va nel testo: la parabola per caso ha l'asse parallelo all'asse delle $x$?
Francesco Daddi
No sono due problemi in uno
1) trovare la parabola avente asse parallelo all'asse y, tangente in A(2;0) alla retta t: y=-6x+12 e passante per (0;4)
2) trovare la parabola avente asse parallelo all'asse y, tangente in A(2;0) alla retta t: y=-6x+12 e passante per l'origine
ci ho messo un po' anch'io per capirlo.
"amelia":
[quote="franced"]
C'è qualcosa che non va nel testo: la parabola per caso ha l'asse parallelo all'asse delle $x$?
Francesco Daddi
No sono due problemi in uno
1) trovare la parabola avente asse parallelo all'asse y, tangente in A(2;0) alla retta t: y=-6x+12 e passante per (0;4)
2) trovare la parabola avente asse parallelo all'asse y, tangente in A(2;0) alla retta t: y=-6x+12 e passante per l'origine
ci ho messo un po' anch'io per capirlo.[/quote]
Forse non capisco, si tratta di due esercizi separati?
Francesco Daddi
Allora, per la parabola passante per l'origine e tangente alla retta $y=-6x+12$ nel punto $(2;0)$
procedo così:
scrivo l'equazione della parabola:
$y = a x (x-2)$
(conosco le 2 radici); poi vedo che la retta tangente nell'origine è
$y = -2ax$
ragionando per simmetria, considerando che il vertice ha ascissa $x=1$,
so che la pendenza della retta tangente alla parabola nel punto $(2;0)$ è
l'opposto di $-2a$; la retta tangente ha equazione:
$y = 2a(x-2)$
uguagliando a questo punto con la retta $y=-6x+12$, trovo:
$2a(x-2) = -6x+12$
$2ax - 4a = -6x + 12$
$a=-3$
la parabola ha equazione:
$y = -3 x (x-2)$
ovvero:
$y = -3x^2 + 6x$
Lo so, non è una soluzione "standard", ma il delta=0 lo faccio solo quando non
ho altra scelta!!
Francesco Daddi
procedo così:
scrivo l'equazione della parabola:
$y = a x (x-2)$
(conosco le 2 radici); poi vedo che la retta tangente nell'origine è
$y = -2ax$
ragionando per simmetria, considerando che il vertice ha ascissa $x=1$,
so che la pendenza della retta tangente alla parabola nel punto $(2;0)$ è
l'opposto di $-2a$; la retta tangente ha equazione:
$y = 2a(x-2)$
uguagliando a questo punto con la retta $y=-6x+12$, trovo:
$2a(x-2) = -6x+12$
$2ax - 4a = -6x + 12$
$a=-3$
la parabola ha equazione:
$y = -3 x (x-2)$
ovvero:
$y = -3x^2 + 6x$
Lo so, non è una soluzione "standard", ma il delta=0 lo faccio solo quando non
ho altra scelta!!
Francesco Daddi
Fai benissimo a cercare delle soluzioni alternative all'annullamento del discriminante.
Non so quali sono le tue conoscenze di matematica. Io quando posso uso le derivate o qualche volta anche le formule di sdoppiamento.
Tutto per avere il minimo di calcoli.
Non so quali sono le tue conoscenze di matematica. Io quando posso uso le derivate o qualche volta anche le formule di sdoppiamento.
Tutto per avere il minimo di calcoli.
Per quanto riguarda il problema della parabola passante per $(0;4)$ e tangente alla retta $y=-6x+12$ nel punto $(2;0)$,
si ha:
l'equazione della parabola è
$y = a(x-2)^2 + b(x-2)$
se sostituisco $x=0$ trovo:
$y = a(0-2)^2 + b(0-2) = 4a - 2b$
questa quantità deve essere uguale a $4$:
$4a - 2b = 4$
d'altra parte sappiamo che la retta tangente ha pendenza uguale a $-6$,
quindi $b=-6$:
$4a - 2 (-6) = 4$
$4a = 4 - 12$
$a = -2$
quindi, in definitiva:
$y = -2(x-2)^2 - 6(x-2)$
ovvero:
$y = -2x^2 + 2x + 4$
Francesco Daddi
si ha:
l'equazione della parabola è
$y = a(x-2)^2 + b(x-2)$
se sostituisco $x=0$ trovo:
$y = a(0-2)^2 + b(0-2) = 4a - 2b$
questa quantità deve essere uguale a $4$:
$4a - 2b = 4$
d'altra parte sappiamo che la retta tangente ha pendenza uguale a $-6$,
quindi $b=-6$:
$4a - 2 (-6) = 4$
$4a = 4 - 12$
$a = -2$
quindi, in definitiva:
$y = -2(x-2)^2 - 6(x-2)$
ovvero:
$y = -2x^2 + 2x + 4$
Francesco Daddi
Spesso utilizzo le trasformazioni affini se ci sono invarianti in gioco.
Ma basta anche ragionare sulle cose:
ad esempio, prendendo l'equazione della parabola
$y = -2(x-2)^2 + 2(x-2)$
per trovare il vertice basta ragionare a meno di traslazioni,
senza dover "espandere" tutti i calcoli..
Poi uso le coordinate baricentriche, sono comode talvolta!
Francesco Daddi
Ma basta anche ragionare sulle cose:
ad esempio, prendendo l'equazione della parabola
$y = -2(x-2)^2 + 2(x-2)$
per trovare il vertice basta ragionare a meno di traslazioni,
senza dover "espandere" tutti i calcoli..
Poi uso le coordinate baricentriche, sono comode talvolta!
Francesco Daddi
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