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[libra_11_ana]

L'equazione della retta perpendicolare alla retta 2x-y+3=0 e che forma con gli assi cartesiani nel primo quadrante un triangolo di area 1 è: A y=-2x-1 , B y=2-x/2 , C y=2+x/2 , D y=-x-2/2 , E y=2x-1 La risposta è la B ma vorrei sapere il procedimento, grazie :)

[Gruzz]

Ciao! Iniziamo trasformando la retta in forma esplicita, quindi 2x-y+3=0 trasformata diventa y=2×+3. Da qui calcoliamo il coefficente angolare in comune a tutte le rette perpendicolari a quella data. Per calcolare il coefficente angolare della retta y=mx+q basta prendere l'm cambiargli di segno e metterlo a denominatore, quindi nel caso specifico l'm ovvero il coefficente angolare delle rette parallele a quella data è uguale a -1/2. Quindi l'insieme delle rette perpendicolari a quella data è y=-1/2x+q. Ora va calcolata la q ovvero l'intercetta con l'asse y. Il problema dice che la retta perpendicolare deve creare un triangolo di area 1 nel primo quadrante. Il triangolo di area 1 sarà ovviamente rettangolo avendo come vertice l'origine degli assi e come cateti i segmenti che vanno dall'origine degli assi all'intersezione della retta da trovare con l'asse delle ascisse e delle ordinate. Quindi ora calcoliamo i punti di intersezione mantenendo l'incognita q. L'intersezione con l'asse y si trova sostituendo lo zero alla x quindi y=-1/2×0 +q quindi y=q quindi q è la misura di un cateto. Ora troviamo l'intersezione con l'asse x sostituendo lo zero alla y quindi 0=-1/2×+q quindi 1/2x=q quindi x=2q e 2q è la misura del secondo cateto. Ora applichiamo la formula per calcolare l'area del triangolo rettangolo ovvero cateto maggiore x cateto minore/2 e la poniamo come da problema =1 (q×2q)/2=1 quindi 2q²/2=1 quindi q²=1 quindi q=1 ora basta sostituire la q trovata nell'equazione ottenendo che la retta perpendicolare alla retta 2x-y+3=0 che forma un triangolo di area 1 nel primo quadrante è y=-1/2×+1.

Dai miei calcoli risulta che la risposta B è una retta perpendicolare a quella data ma l'intercetta è sbagliata. Ora te lo provo. Se fosse giusta la retta y=-1/2x+2 significa che il triangolo formato nel primo quadrante ha area 1. Calcoliamo i punti di intersezione come prima: intersezione con l'asse y= y=-1/2×0+2 quindi y=2 e 2 è la misura di un cateto. Troviamo l'intersezione con l'asse x ovvero 0=-1/2x+2 ovvero x=4 che è la misura del secondo cateto. Quindi cateto×cateto/2 è uguale a 2×4/2 che è uguale a 4. Quindi ti confermo che la risposta B è sbagliata. La B è l'unica risposta ad essere perpendicolare alla retta data ma l'intercetta è sbagliata!


Risposta esatta y=-1/2x+1