HELP ME !!!!! (geometria)
Salve a tutti!!! Vorrei chiedervi se sapete dimostrare questo teorema che sul mio libro di geometria non c'è
Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora il quadrilatero si può circonscrivere!!!!!!
( cioè il teorema inverso del quadrilatero circonscritto ) Il mio libro dice solo che si deve ragionare per assurdo.....
Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora il quadrilatero si può circonscrivere!!!!!!
( cioè il teorema inverso del quadrilatero circonscritto ) Il mio libro dice solo che si deve ragionare per assurdo.....
Risposte
Prima di rispondere al quesito posto da marokkino92, devo chiedere una cosa al forum.
Il Teorema che si vuole dimostrare è il seguente:
$\text{Se un quadrilatero è tale che la somma di due suoi lati opposti uguaglia la somma dei suoi due rimanenti lati opposti, allora è possibile circoscrivere il quadrilatero$
La dimostrazione di questo Teorema è, come è noto, per assurdo. Io non l'ho mai dimostrato nel corso dei miei studi, né liceali né universitari, quindi lo dimostro ora per la prima volta. Nel cercare una dimostrazione è nato però in me un dubbio.
Procedere con una dimostrazione per assurdo significa assumenre come vera la negazione della tesi. La tesi è che il quadrilatero è circoscrivibile. Ammetere la negazione di ciò significa ammetere che il quadrilatero non è circoscrivibile. Per definizione di circoscrivibilità, ammetere che il quadrilatero non è circoscrivile significa ammetere che non esiste una circonferenza tale che i quattro lati del quadrilatero siano ad essa tutti tangenti. Quindi bisogna assumere che almeno uno di questi quattro lati sia non tangente. Ma potrebbe anche essere che due lati siano non tangenti.
Nella dimostrazione che riporto ho considerato il caso semplice della non tangenza da parte di uno solo dei lati del quadrilatero.
Quindi vi chiedo: per completare la dimostrazione per assurdo, non dovrei provare che sussite l'assurdo anche se si ammette che due lati siano non tangenti?
Attendendo risposte dal forum, lascio la dimostrazione del caso di non tangenza da parte di un solo lato.
Dimostrazione
Con riferimento alla figura sopra riportata, si ha che se $ABCD$ non è circoscrivibile per mezzo della non tangenza da parte di un solo lato, allora dal punto $B$ si traccia la tangente alla circonferenza, che incontra $CD$ in $C'$. Il quadrilatero $ABC'D$ è circoscritto, dunque: $AB+C'D = AD+BC'$.
Ma è anche $AB+CD=AD+BC$ e $CD=C C'+C'D$, dunque si ha
1)$AB+C C'+C'D=AD+BC$
2)$AB+C'D=AD+BC'$
Dalla 1) segue che $AB+C'D-AD=BC-C C'$ e dalla 2) segue che $AB+C'D-AD=BC'$, quindi $BC'=BC-C C'$. Ma $BC, C C', BC'$ sono lati di un triangolo, quindi la precedente uguaglianza è in contraddizione con le disuguaglianze triangolari, da cui l'assurdo.
P.S.
Ovviamente se qualcuno ha anche qualche altra dim. per assurdo (o anche diretta) la posti, così ne approfitto anche io per imparare qualche cosa
Il Teorema che si vuole dimostrare è il seguente:
$\text{Se un quadrilatero è tale che la somma di due suoi lati opposti uguaglia la somma dei suoi due rimanenti lati opposti, allora è possibile circoscrivere il quadrilatero$
La dimostrazione di questo Teorema è, come è noto, per assurdo. Io non l'ho mai dimostrato nel corso dei miei studi, né liceali né universitari, quindi lo dimostro ora per la prima volta. Nel cercare una dimostrazione è nato però in me un dubbio.
Procedere con una dimostrazione per assurdo significa assumenre come vera la negazione della tesi. La tesi è che il quadrilatero è circoscrivibile. Ammetere la negazione di ciò significa ammetere che il quadrilatero non è circoscrivibile. Per definizione di circoscrivibilità, ammetere che il quadrilatero non è circoscrivile significa ammetere che non esiste una circonferenza tale che i quattro lati del quadrilatero siano ad essa tutti tangenti. Quindi bisogna assumere che almeno uno di questi quattro lati sia non tangente. Ma potrebbe anche essere che due lati siano non tangenti.
Nella dimostrazione che riporto ho considerato il caso semplice della non tangenza da parte di uno solo dei lati del quadrilatero.
Quindi vi chiedo: per completare la dimostrazione per assurdo, non dovrei provare che sussite l'assurdo anche se si ammette che due lati siano non tangenti?
Attendendo risposte dal forum, lascio la dimostrazione del caso di non tangenza da parte di un solo lato.
Dimostrazione
Con riferimento alla figura sopra riportata, si ha che se $ABCD$ non è circoscrivibile per mezzo della non tangenza da parte di un solo lato, allora dal punto $B$ si traccia la tangente alla circonferenza, che incontra $CD$ in $C'$. Il quadrilatero $ABC'D$ è circoscritto, dunque: $AB+C'D = AD+BC'$.
Ma è anche $AB+CD=AD+BC$ e $CD=C C'+C'D$, dunque si ha
1)$AB+C C'+C'D=AD+BC$
2)$AB+C'D=AD+BC'$
Dalla 1) segue che $AB+C'D-AD=BC-C C'$ e dalla 2) segue che $AB+C'D-AD=BC'$, quindi $BC'=BC-C C'$. Ma $BC, C C', BC'$ sono lati di un triangolo, quindi la precedente uguaglianza è in contraddizione con le disuguaglianze triangolari, da cui l'assurdo.
P.S.
Ovviamente se qualcuno ha anche qualche altra dim. per assurdo (o anche diretta) la posti, così ne approfitto anche io per imparare qualche cosa
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