Help Equazione esponenziale
non riesco a trovare un metodo per risolverla:
$5^x + 12^x = 13^x$
qualche genio in ascolto?
help me...grazie
$5^x + 12^x = 13^x$
qualche genio in ascolto?
help me...grazie
Risposte
Un metodo per risolverla fatico anche io a trovarlo...
però 5,12,13 è una terna pitagorica!!!
però 5,12,13 è una terna pitagorica!!!
Come ha osservato Rem 5, 12 e 13 formano una terna pitagorica, per cui per $x \in NN$ una soluzione è
$x=2$
In base all'Ultimo Teorema di Fermat tale soluzione è anche unica.
Se si considera ora $x \in RR$ dividendo entrambi i membri per $12^x$ l'equazione diventa
$(5/12)^x+1=(13/12)^x$
La funzione a destra è monotona decrescente con codominio $]1; +oo[$ mentre quella di sinistra è monotona crescente con codominio $]0; +oo[$. Tracciando anche approssimativamente i grafici si osserva che le due funzioni hanno un'unica intersezione che non può essere altro che il valore 2 trovato precedentemente.
Quindi l'equazione ha una sola soluzione reale $x=2$.
$x=2$
In base all'Ultimo Teorema di Fermat tale soluzione è anche unica.
Se si considera ora $x \in RR$ dividendo entrambi i membri per $12^x$ l'equazione diventa
$(5/12)^x+1=(13/12)^x$
La funzione a destra è monotona decrescente con codominio $]1; +oo[$ mentre quella di sinistra è monotona crescente con codominio $]0; +oo[$. Tracciando anche approssimativamente i grafici si osserva che le due funzioni hanno un'unica intersezione che non può essere altro che il valore 2 trovato precedentemente.
Quindi l'equazione ha una sola soluzione reale $x=2$.
la soluzione è giusta, ma dovrebbe essere raggiunta senza metodo grafico però.
Mi servirebbero i passaggi, grazie.
Mi servirebbero i passaggi, grazie.
Riscriviamo l'equazione come
$(5/12)^x+1-(13/12)^x = 0$
la funzione
$y=(5/12)^x+1-(13/12)^x$
è continua e derivabile su $RR$ perché somma di funzioni continue e derivabili su $RR$. Risulta
$y'=(5/12)^xln(5/12)-(13/12)^xln(13/12)$
Si osserva che risulta
$y'<0 \quad \forall x \in RR$
Abbiamo già trovato che la funzione si annulla in $x=2$, poiché essa è inoltre continua e monotona decrescente allora non ci saranno altri punti in cui si annulla.
Di conseguenza l'unica soluzione dell'equazione data è $x=2$.
$(5/12)^x+1-(13/12)^x = 0$
la funzione
$y=(5/12)^x+1-(13/12)^x$
è continua e derivabile su $RR$ perché somma di funzioni continue e derivabili su $RR$. Risulta
$y'=(5/12)^xln(5/12)-(13/12)^xln(13/12)$
Si osserva che risulta
$y'<0 \quad \forall x \in RR$
Abbiamo già trovato che la funzione si annulla in $x=2$, poiché essa è inoltre continua e monotona decrescente allora non ci saranno altri punti in cui si annulla.
Di conseguenza l'unica soluzione dell'equazione data è $x=2$.
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