HELP ,AIUTO! GEOMETRIA PROBLEMA SECONDA SUPERIORE SISTEMI ALGEBRICO
Ciao sapete aiutarmi in questo problema? Bisogna utilizzare i sistemi di seconda superiore.Grazie.
Un rettangolo e un trapezio isoscele hanno lo stesso perimetro; la somma fra la base minore del trapezio e le dimensioni del rettangolo ha la stessa misura del perimetro comune diminuito di 5 cm e la differenza fra la base maggiore del trapezio e uno dei lati del rettangolo è con- gruente alla metà dell'altro. Si sa infine che nel trapezio la base maggiore è il doppio di quella minore, a sua volta congruente ai lati obliqui. Calcola il perimetro dei due poligoni e l'area del rettangolo. Il risultato è 50/3cm e 50/3 cm²
Un rettangolo e un trapezio isoscele hanno lo stesso perimetro; la somma fra la base minore del trapezio e le dimensioni del rettangolo ha la stessa misura del perimetro comune diminuito di 5 cm e la differenza fra la base maggiore del trapezio e uno dei lati del rettangolo è con- gruente alla metà dell'altro. Si sa infine che nel trapezio la base maggiore è il doppio di quella minore, a sua volta congruente ai lati obliqui. Calcola il perimetro dei due poligoni e l'area del rettangolo. Il risultato è 50/3cm e 50/3 cm²
Risposte
Ciao, proviamo ad estrarre le relazioni che ci da' il problema.
'Un rettangolo e un trapezio isoscele hanno lo stesso perimetro.'
'La somma fra la base minore del trapezio e le dimensioni del rettangolo ha la stessa misura del perimetro diminuito di 5.'
'La differenza fra la base maggiore del trapezio e uno dei lati del rettangolo e' congruente alla meta' dell'altro.'
'La base maggiore è il doppio della base minore nel trapezio.'
'La base minore è congruente ai lati obliqui.'
Hai tante relazioni ma quelle interessanti sono le ultime due. Dico che sono interessanti perché basta un'unica incognita per il trapezio!
Non ci credi? Ecco, guarda! :D
Base minore trapezio = x
Lati obliqui trapezio = base minore = x
Base maggiore trapezio = 2 volte base minore = 2x
da cui -> perimetro trapezio = 2x+x+x+x = 5x!
Non abbiamo fortuna con il rettangolo, ma intanto abbiamo trovato il perimetro in funzione della base minore del trapezio che niente non è e vale anche per il rettangolo (sono isoperimetrici le due figure).
Passiamo allora alle relazioni successive, chiamo y = una dimensione del rettangolo, z = l'altra dimensione del rettangolo: abbiamo che il perimetro del rettangolo è 2y + 2z per definizione.
Comunque, vediamo ora le altre relazioni.
'Un rettangolo e un trapezio isoscele hanno lo stesso perimetro.'
Da cui abbiamo, come equazione
'La somma fra la base minore del trapezio e le dimensioni del rettangolo ha la stessa misura del perimetro diminuito di 5.'
Da cui abbiamo, come altra equazione,
'La differenza fra la base maggiore del trapezio e uno dei lati del rettangolo e' congruente alla meta' dell'altro.'
Da cui abbiamo, come terza equazione del nostro sistema
Queste sono dunque le tre equazioni del sistema da risolvere nelle incognite x, y, z. Una volta risolto otteniamo il valore di queste incognite e, dunque, di questi oggetti che abbiamo posto come incognite da ricavare.
Una nota: mi sono soffermato molto sull'impostazione del problema con tante spiegazioni dettagliate proprio perché chi si trova ad affrontare questi problemi spesso non si sofferma mai nella fase di analisi che è più complessa ma anche più appagante del problema stesso. Il problema, in fondo, per come è stato impostato e ragionato si riduce alla risoluzione di un sistema lineare, no? ;)
Vale sempre la stessa cosa: è spesso molto importante soffermarsi ad analizzare il problema prima di passare oltre o di arrendersi. :)
'Un rettangolo e un trapezio isoscele hanno lo stesso perimetro.'
'La somma fra la base minore del trapezio e le dimensioni del rettangolo ha la stessa misura del perimetro diminuito di 5.'
'La differenza fra la base maggiore del trapezio e uno dei lati del rettangolo e' congruente alla meta' dell'altro.'
'La base maggiore è il doppio della base minore nel trapezio.'
'La base minore è congruente ai lati obliqui.'
Hai tante relazioni ma quelle interessanti sono le ultime due. Dico che sono interessanti perché basta un'unica incognita per il trapezio!
Non ci credi? Ecco, guarda! :D
Base minore trapezio = x
Lati obliqui trapezio = base minore = x
Base maggiore trapezio = 2 volte base minore = 2x
da cui -> perimetro trapezio = 2x+x+x+x = 5x!
Non abbiamo fortuna con il rettangolo, ma intanto abbiamo trovato il perimetro in funzione della base minore del trapezio che niente non è e vale anche per il rettangolo (sono isoperimetrici le due figure).
Passiamo allora alle relazioni successive, chiamo y = una dimensione del rettangolo, z = l'altra dimensione del rettangolo: abbiamo che il perimetro del rettangolo è 2y + 2z per definizione.
Comunque, vediamo ora le altre relazioni.
'Un rettangolo e un trapezio isoscele hanno lo stesso perimetro.'
Da cui abbiamo, come equazione
[math] 2x = 2y + 2z [/math]
'La somma fra la base minore del trapezio e le dimensioni del rettangolo ha la stessa misura del perimetro diminuito di 5.'
Da cui abbiamo, come altra equazione,
[math] x + y + z = 5x - 5 [/math]
'La differenza fra la base maggiore del trapezio e uno dei lati del rettangolo e' congruente alla meta' dell'altro.'
Da cui abbiamo, come terza equazione del nostro sistema
[math] 2x - y = \frac{z}{2} [/math]
Queste sono dunque le tre equazioni del sistema da risolvere nelle incognite x, y, z. Una volta risolto otteniamo il valore di queste incognite e, dunque, di questi oggetti che abbiamo posto come incognite da ricavare.
Una nota: mi sono soffermato molto sull'impostazione del problema con tante spiegazioni dettagliate proprio perché chi si trova ad affrontare questi problemi spesso non si sofferma mai nella fase di analisi che è più complessa ma anche più appagante del problema stesso. Il problema, in fondo, per come è stato impostato e ragionato si riduce alla risoluzione di un sistema lineare, no? ;)
Vale sempre la stessa cosa: è spesso molto importante soffermarsi ad analizzare il problema prima di passare oltre o di arrendersi. :)
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