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[Sk_Anonymous]

1)

Dimostrare che un triangolo è isoscele se vale la seguente relazione:


$a=2bcosgamma$


2)


Dimostrare che se i lati di un triangolo misurano:


$a^2+a+1$, $2a+1$, $a^2-1$,



un angolo è di $120°$.

[fireball1]

Supponiamo che $a$ sia la lunghezza della base
del triangolo, e siano $beta$ e $gamma$ gli angoli
adiacenti alla base. Siano $b$ e $c$ le lunghezze degli
altri due lati. Allora, per il teorema delle proiezioni
(che è una conseguenza banale di formule
di trigonometria elementare) si ha:
$a=bcosbeta+c cosgamma$
Se ora $b=c$ e $gamma=beta$ (cose che si
verificano nel caso di un triangolo isoscele), si ottiene:
$a=2bcosgamma$.

[fireball1]

2) Supponiamo che 120° sia l'angolo compreso tra i due lati di misura $2a+1$ e $a^2-1$,
e usiamo il teorema di Carnot per determinare il terzo lato:

$(2a+1)^2+(a^2-1)^2-2(2a+1)(a^2-1)cos(120°)=a^4+2a^3+3a^2+2a+1$ dopo qualche conto.
Ora scomponendo quest'ultimo polinomio si nota che esso è proprio $(a^2+a+1)^2$,
cioè il quadrato del terzo lato del triangolo.

[Sk_Anonymous]

senza partire dalla tesi non si può dimostrare?

[fireball1]

No. E non credere che tutte le dimostrazioni
partano dall'ipotesi e basta! Esempio lampante:
le dimostrazioni per induzione.