Grattacapo

[Duch1]

Uhm, un altro grattacapo...

Dato il quadrato ABCD di lato (sqrt 2 +1)cm, si considerino sui lati AB e AD e sulla diagonale Ac rispettivamente tre punti E, F, H, tali che sia AE=AF=CH=x e in modo che l'area del triangolo EFH sia 1/2(sqrt2 +1)cm².
[x=1]

Sono proprio curioso, difficile vero?

[fireball1]

La base del triangolo può essere calcolata facilmente con Pitagora:
EF=sqrt(x^2+x^2)=sqrt(2)*x
La diagonale AC è uguale a sqrt((sqrt 2 +1)^2+(sqrt 2 +1)^2)=sqrt(2)+2
Chiamiamo K il punto in cui EF interseca l'altezza ad esso relativa (cioè
relativa all'ipotenusa)..
L'area di AEF è x^2/2
Considerando EF come base e AK come altezza si ha:
AK=2*(x^2/2)/(sqrt(2)*x)=x^2/(sqrt(2)*x)=x/sqrt(2)
Resta da calcolare HK, altezza del triangolo EFH.
Conosciamo AC, CH e AK, perciò HK=AC-CH-AK=sqrt(2)+2-x-x/sqrt(2)
L'area di EFH dev'essere (1/2)*(sqrt2+1), allora si ha:
(1/2)*sqrt(2)*x*(sqrt(2)+2-x-x/sqrt(2))=(1/2)*(sqrt2+1)
Risolvi questa equazione ed ottieni x=1.