Grandezze proporzionali

[_Matteo_C1]

Ragazzi sto studiando le grandezze proporzionali, in particolare ora le grandezze direttamente proporzionali. Le sto studiando da un documento di **** che mi sembra molto dettagliato. Solo che non riesco a capire un pezzo:

Ad un certo punto si enunciano due teoremi: un teorema che afferma che se due classi di grandezze sono direttamente proporzionali, allora il rapporto tra la misura di una qualsiasi grandezza della prima classe con il rapporto della misura della corrispondente classe è costante.
E fin qui Ok. Poi però indica un "teorema 2":

"Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi complete di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che a grandezze uguali di una classe corrispondano grandezze uguali dell’altra e che alla somma di due grandezze qualunque di una classe corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra."

E la spiegazione, non la capisco:

Dati due classi G e G’ in corrispondenza biunivoca, siano $x$ e $y$ due misure di due elementi corrispondenti con $y/x=cost=h$ , cioè $y=hx$ : ne consegue che le due classi sono direttamente proporzionali per il teorema prima dimostrato. Infatti consideriamo le corrispondenze $y=hx$ e $y'=hx'$ , si ha:
a. qualora risulti $x=x'$ , ne consegue che $y=y'$ ;
b. se consideriamo la somma x+x' , a essa rimane associata l’espressione$ h(x+x')$ : per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione si ha che $hx+hx'$ , cioè che $y=y'$ .
Per il criterio generale di proporzionalità le due classi sono direttamente proporzionali.

Non riesco a capire a cosa voglia arrivare il secondo teorema e come è dimostrato, per piacere, datemi una mano ! (spero che anche questo post non sarà ignorato, perche sennò sono finito! Perciò invoco la vostra clemenza :) )

[@melia]

È un modo per dimostrare le proprietà delle proporzioni: $x : y = x' : y' = (x+x') : (y+y')$

[_Matteo_C1]

@melia:È un modo per dimostrare le proprietà delle proporzioni: $x : y = x' : y' = (x+x') : (y+y')$

ma non bisogna dimostrare che le due classi di grandezze sono direttamente proporzionali? Che c'entra dimostrare la proprietà delle proporzioni?

[@melia]

Ha dimostrato che se le grandezze sono del tipo $y=hx$ allora valgono le proprietò delle proporzioni, quindi le grandezze sono direttamente proporzionali.

[dissonance]

@Matteo: Mi sa che hai messo la spunta a "Disabilita i BBCode" nel tuo profilo personale. E' meglio se la togli sennò non riesci a usare l'ambiente quote, e nemmeno il corsivo.

[_Matteo_C1]

Va bene ora ci ragiono un pò...
@dissonance: è vero! non ci avevo pensato

[Sk_Anonymous]

Se non ho capito male, è una dimostrazione della validità della proporzionalità diretta anche nella somma di grandezze

Dovrebbe essere

$(x+x')h=(y+y')$

E quindi

$h=(x+x')/(y+y')=x/y=(x')/(y')$

[_Matteo_C1]

ok grazie! ma non mi ci trovo bene con quel testo... Quindi ho cercato un'altra dimostrazione, sentite se è corretta:
Si dimostra che: se due grandezze $S_1$,$S_2$in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali, la corrispondenza tra di esse mantiene l'uguaglianza e la somma.
Supponiamo che vale $A_1:B_1=A_2:B_2$ con $A_1$,$B_1$ $in S_1$ e $A_2$,$B_2$ $in S_2$. Se $A_1=B_1$ allora $A_1:B_1=1$. Ma$ A_1:B_1=A_2:B_2 => A_2/B_2 =1 => A_2=B_2$. La corrispondenza conserva l'uguaglianza.
Per la proprietà del comporre delle proporzioni abbiamo che: $A_1:(A_1+B_1)=A_2:(A_2+B_2)$.
Ad $(A_1+B_1)$ corrisponderà una grandezza in $S_2$, che chiamiamo $K_2$. Dunque abbiamo anche: $A_1:(A_1+B_1)=A_2:K_2$
Ma per l'unicità del quarto proporzionale, deve essere vero che: $K_2=(A_2+B_2)$. Ed è dimostrato che la corrispondenza mantiene la somma.
E' Corretto?

[Sk_Anonymous]

Direi di si. Infatti se si tiene conto poi che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, si ottiene che

$A_2(A_1+B_1)=A_1(A_2+B_2)$

$A_2A_1+A_2B_1=A_1A_2+A_1B_2$

$A_2B_1=A_1B_2$

E quindi, dividendo tutto per $B_1B_2$, otteniamo ancora che

$A_2/B_2=A_1/B_1$