Grandezze commensurabili e numeri periodici
Stavo un po' riflettendo sul concetto di "grandezze commensurabili" quando mi è venuta in mente una cosa: ma se il rapporto tra una grandezza ed un'altra fosse un numero periodico, quale sarebbe il loro sottomultiplo comune?
Cercherò di esporre le cose con ordine, in modo da evitare confusione.
DEFINIZIONE: il multiplo di una grandezza $A$ secondo il numero naturale $n$ è una grandezza $B$ definita come segue:
1)$B$ è la somma di $n$ grandezze uguali ad $A$
2) $B$ è uguale alla grandezza nulla se $n=0$
3) $B=n*A$.
Ad esempio, $B=3*A$, cioè $B$ è multiplo di $A$ secondo $n=3$.
DEFINIZIONE: una grandezza $A$ è sottomultipla secondo $n!=0$ di una grandezza $B$ se $B$ è il multiplo di $A$ secondo $n$.
Ad esempio $B=5/2u$. Pongo $1/2u=A$ e quindi ho $B=5A$: $A$ è sottomultipla secondo $n=5$ di $B$.
Fin qui nessun problema.
Poi però il mio libro dà questa definizione: due grandezze (omogenee ovviamente) si dicono commensurabili se esiste una grandezza (omogenea con le due date) che sia loro sottomultipla comune.
Bene, prendo $B=3.\bar4u$ $3.\bar4 = 31/9$, quindi $B=31/9u$. Se ora pongo $A=9/31u$ ho che $B=31/9*u=31/9*(31/9A)=961/81A$. Non riesco ad ottenere due grandezze intere che siano contenute un numero $n$ di volte in $B$ ed $m$ volte in $u$, quindi o esistono queste grandezze o $B$ e $u$ sono incommensurabili, secondo la definizione che dà il libro.
Voi cosa ne pensate?
Cercherò di esporre le cose con ordine, in modo da evitare confusione.
DEFINIZIONE: il multiplo di una grandezza $A$ secondo il numero naturale $n$ è una grandezza $B$ definita come segue:
1)$B$ è la somma di $n$ grandezze uguali ad $A$
2) $B$ è uguale alla grandezza nulla se $n=0$
3) $B=n*A$.
Ad esempio, $B=3*A$, cioè $B$ è multiplo di $A$ secondo $n=3$.
DEFINIZIONE: una grandezza $A$ è sottomultipla secondo $n!=0$ di una grandezza $B$ se $B$ è il multiplo di $A$ secondo $n$.
Ad esempio $B=5/2u$. Pongo $1/2u=A$ e quindi ho $B=5A$: $A$ è sottomultipla secondo $n=5$ di $B$.
Fin qui nessun problema.
Poi però il mio libro dà questa definizione: due grandezze (omogenee ovviamente) si dicono commensurabili se esiste una grandezza (omogenea con le due date) che sia loro sottomultipla comune.
Bene, prendo $B=3.\bar4u$ $3.\bar4 = 31/9$, quindi $B=31/9u$. Se ora pongo $A=9/31u$ ho che $B=31/9*u=31/9*(31/9A)=961/81A$. Non riesco ad ottenere due grandezze intere che siano contenute un numero $n$ di volte in $B$ ed $m$ volte in $u$, quindi o esistono queste grandezze o $B$ e $u$ sono incommensurabili, secondo la definizione che dà il libro.
Voi cosa ne pensate?
Risposte
In realtà mi sa che basta porre $A=1/9u$ ed otterrei $B=31A$ e $u=9A$ e quindi sarebbero commensurabili, con $A$ sottomultiplo comune di $B$ e di $u$.
"HowardRoark":
In realtà mi sa che basta porre $A=1/9u$ ed otterrei $B=31A$ e $u=9A$ e quindi sarebbero commensurabili, con $A$ sottomultiplo comune di $B$ e di $u$.
Funziona per tutti i numeri periodici o sei stato/a fortunato/a?
E se il rapporto tra una grandezza ed un'altra non è periodico cosa succede?
"ghira":
Funziona per tutti i numeri periodici o se stato fortunata?
Credo funzioni per tutti i numeri periodici, siccome questi sono sempre trasformabili in frazioni.
"ghira":
E se il rapporto tra una grandezza ed un'altra non è periodico cosa succede?
Se il rapporto è un numero la cui parte decimale è illimitata e aperiodica allora banalmente non sono commensurabili.
Chiedo scusa per i refusi.
Sì. Hai ragione. Non mi pare che ci sia un problema a questo punto.
Sì. Hai ragione. Non mi pare che ci sia un problema a questo punto.
Fissa un insieme $G$ i cui elementi sono detti "grandezze". La tua definizione di commensurabilità si estende a, ed è equivalente nel caso n=2, questa:
n grandezze \(g_1,\dots,g_n\) sono "commensurabili" se sono elementi linearmente dipendenti del gruppo abeliano libero su G.
n grandezze \(g_1,\dots,g_n\) sono "commensurabili" se sono elementi linearmente dipendenti del gruppo abeliano libero su G.
@megas_archon ti ringrazio per lo spunto ma non conosco ancora il concetto di "gruppo abeliano libero", magari ci ritornerò su tra un po'.
Comunque la lineare dipendenza e la commensurabilità mi dicono qualcosa: se due vettori sono linearmente dipendenti esiste una loro combinazione lineare nulla a coefficienti non tutti nulli. In $RR^2$ ad esempio esistono $(c_1,c_2)!=(0,0)$ tali che $\barv_1c_1+\barv_2c_2= 0$, dove $\barv_i$ sono ovviamente i vettori. Questo credo equivalga a dire che esiste sempre una quantità sottomultipla di entrambi i vettori, tale per cui posso esprimere l'uno e l'altro in funzione di tale quantità.
Comunque la lineare dipendenza e la commensurabilità mi dicono qualcosa: se due vettori sono linearmente dipendenti esiste una loro combinazione lineare nulla a coefficienti non tutti nulli. In $RR^2$ ad esempio esistono $(c_1,c_2)!=(0,0)$ tali che $\barv_1c_1+\barv_2c_2= 0$, dove $\barv_i$ sono ovviamente i vettori. Questo credo equivalga a dire che esiste sempre una quantità sottomultipla di entrambi i vettori, tale per cui posso esprimere l'uno e l'altro in funzione di tale quantità.
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