Grafico funzione

[pikkola91]

Ho qualche dubbio quando devo ricavare delle informazioni da un grafico di una funzione per il dominio e codominio.. quando ci sono gli asintoti mi devo fermare perchè la funzione si interrompe ma quando ho ad esempio il salto della funzione, quando ho del pallini vuoti e pieni?.. Grazie!!

Ad esempio questa: http://img695.imageshack.us/img695/8292/funzione.jpg

[aleio1]

mm..penso di capire la tua richiesta anche se posta in malo modo..
comunque..dal grafico della funzione (almeno se disegnato come quello in figura) è facile capire quali siano dominio e codominio.

Il dominio è l'insieme dei punti sull'asse delle ascisse in corrispondenza dei quali c'è il corrispondente valore della funzione. Gli intervalli in cui la funzione è tracciata con un tratto continuo sono naturalmente inclusi nel dominio. I punti agli estremi di questi intervalli possono essere di due tipi: finiti o infiniti. Se sono finiti e sono contrassegnati da un pallino pieno allora lì la funzione è definita e dunque sono punti che appartengono al dominio, se sono solo pallini vuoti significa che essi non appartengono al dominio. Se invece questi 'punti' sono + o - infinito allora il grafico lo indica con un prolungamento tratteggiato che sta a significare che la funzione è definita anche per valori che tendono all'infinito nei due sensi. L'ultimo caso è quello degli asintoti verticali: essi passano per punti che non appartengono al dominio infatti in essi la funzione non è definita e tende all'infinito.
Nel caso della funzione in figura hai che:

- in

[math](-\infty; 1)[/math]

la funzione è definita
-

[math]\lim_{x\to\1^-} \ \ f(x)= 1, \ \ \ \lim_{x\to\1^+} \ \ f(x)= 0[/math]

quindi limite destro e sinistro per

[math]x\to1[/math]

c'è un salto pari ad

[math]1[/math]

ma la funzione evidentemente è definita in

[math]x=1[/math]

e vale

[math]0[/math]

(infatti hai nel punto

[math]P(1,0)[/math]

un pallino pieno)
- in

[math](1,3)[/math]

hai un bel tratto senza interruzioni che ti dice che in questo intervallo la funzione è definita e dunque

[math](1,3)[/math]

è incluso nel dominio
-

[math]\lim_{x\to\3} \ \ f(x)= +\infty[/math]

e dato che

[math]\pm\infty\notin\mathbb{R} \ \ \ x=3[/math]

non appartiene al dominio.
- in

[math](3,+\infty)[/math]

la funzione è regolare e dunque tale intervallo è incluso nel dominio.

Riassumendo la funzione è definita in tutto

[math]\mathbb{R}[/math]

tranne che nel punto

[math]x=3[/math]

e dunque il suo dominio sarà

[math]D=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)[/math]

.

Per il codominio ragionamenti quasi analoghi e più semplici. Devi vedere in corrispondenza di quali punti dell'asse delle ordinate vi sono punti appartenenti alla funzione.

Si vede subito che per ogni

[math]y\ge0[/math]

c'è almeno un valore che la funzione assume almeno una volta, pertanto l'intervallo

[math][0;+\infty)[/math]

è incluso nel codominio.
Se consideriamo le ordinate negative invece la funzione continua ad assumere valori ma fino ad un certo punto. Infatti quel punto di ascissa compresa tra

[math]1[/math]

e

[math]3[/math]

è il valore minimo che assume la funzione. Da lì in poi guardando in basso la funzione non assume nessun altro valore.
Dunque chiamando

[math]\alpha[/math]

l'ordinata corrispondente a quel punto possiamo dire che il codominio complessivo della funzione è l'insieme

[math]C=(\alpha;+\infty)[/math]

osservando che naturalmente [math]\alpha