Grafico del quadrato di una funzione?
Se prendo una parabola qualsiasi per esempio y=x^2+3x+1 e la elevo tutta a quadrato y=(x^2+3x+1)^2 che succede al grafico?
Perchè si viene a formare quella specie di gobba all'insù sulla parabola?
Grafico di parabola normale : http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3…
Grafico di parabola elevata a quadrato : http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3…
Quel grafico ha un perchè preciso? E si può risalire al grafico di una funzione al quadrato senza farne lo studio classico ma con qualche osservazione?
Per esempio se voglio disegnare il valore assoluto di una funzione
f(x)=|g(x)|
disegno f(x),disegno solo la parte di funzione che si trova sopra l'asse x, poi prendo tutta la parte di funzione che si trova sotto l'asse x e la "ribalto" sopra l'asse x..
Non ho necessità di studiare il valore assoluto, posso risalire al grafico molto velocemente
f(x)=(g(x))^2
C'è un modo per risalire al grafico della funzione al quadrato in modo veloce senza studiare la funzione al quadrato in modo classico? C'è una particolarità che vale solo per le parabole? (E relative gobbe all'insù
)
Perchè si viene a formare quella specie di gobba all'insù sulla parabola?
Grafico di parabola normale : http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3…
Grafico di parabola elevata a quadrato : http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3…
Quel grafico ha un perchè preciso? E si può risalire al grafico di una funzione al quadrato senza farne lo studio classico ma con qualche osservazione?
Per esempio se voglio disegnare il valore assoluto di una funzione
f(x)=|g(x)|
disegno f(x),disegno solo la parte di funzione che si trova sopra l'asse x, poi prendo tutta la parte di funzione che si trova sotto l'asse x e la "ribalto" sopra l'asse x..
Non ho necessità di studiare il valore assoluto, posso risalire al grafico molto velocemente
f(x)=(g(x))^2
C'è un modo per risalire al grafico della funzione al quadrato in modo veloce senza studiare la funzione al quadrato in modo classico? C'è una particolarità che vale solo per le parabole? (E relative gobbe all'insù
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Risposte
Visto che sai fare il grafico col valore assoluto, partiamo di lì: infatti elevare a quadrato una funzione è lo stesso che elevare il suo valore assoluto. Un valore assoluto è non-negativo e se una funzione è sempre non-negativa i minimi e i massimi del suo quadrato hanno le stesse $x$ della funzione; ovviamente le $y$ sono il quadrato di quelle corrispondenti. Riassumendo: fai il grafico del valore assoluto; il grafico del quadrato gli assomiglia, a parte il fatto che è deformato lungo l'asse $y$ e i punti angolosi sull'asse delle ascisse diventano normali punti di stazionarietà.
Per cui potrei a occhio identificare un grafico del quadrato di una funziona data semplicemente notando che tale grafico assomiglia a quello del valore assoluto, con la differenza che i punti angolosi diventano punti in cui la derivata è 0, quindi punti di massimo o di minimo..
Giammaria potresti fare qualche esempio? Vale per tutte le funzioni?
e questa osservazione sui grafici di funzione al quadrato è precisa? Insomma ho l'impressione che sia un po' poco rigorosa e che non potrei disegnare il quadrato di una funzione senza studiarla in modo preciso, invece col valore assoluto la funzione che ottengo è sicuramente quella, cioè posso disegnare tutti i punti in modo rigoroso mentre col quadrato della funzione è come se facessi un po' a occhio? Spero di essere risucito a spiegarmi..
Inoltre potrei intuire "a occhio" anche qual'è il grafico del reciproco di una funzione?
Per esempio ho f(x), se volessi intuire l'andamento di g(x)=1/f(x) c'è qualche ragionamento più o meno analogo?
Giammaria potresti fare qualche esempio? Vale per tutte le funzioni?
e questa osservazione sui grafici di funzione al quadrato è precisa? Insomma ho l'impressione che sia un po' poco rigorosa e che non potrei disegnare il quadrato di una funzione senza studiarla in modo preciso, invece col valore assoluto la funzione che ottengo è sicuramente quella, cioè posso disegnare tutti i punti in modo rigoroso mentre col quadrato della funzione è come se facessi un po' a occhio? Spero di essere risucito a spiegarmi..
Inoltre potrei intuire "a occhio" anche qual'è il grafico del reciproco di una funzione?
Per esempio ho f(x), se volessi intuire l'andamento di g(x)=1/f(x) c'è qualche ragionamento più o meno analogo?
Una semplice somiglianza non basta per dire che hai il grafico di un quadrato perché potrebbe esserci qualche differenza un po' nascosta; al massimo puoi sospettare di averlo.
Quello che ho detto vale per qualunque curva e riguarda intersezioni con gli assi, massimi e minimi e asintoti orizzontali e verticali; non riguarda gli asintoti obliqui né (credo) i flessi.
Come esempio prendo $y=(x^2-6x+7)^2$: ho scelto una parabola solo per semplicità di calcoli. Disegnando ora la curva $y=|x^2-6x+7|$ notiamo che incontra l'asse y in \(\displaystyle (0,7) \) e l'asse x in \(\displaystyle (1,0 \)) e \(\displaystyle (7,0) \); questi ultimi due punti sono suoi minimi e sono punti angolosi. Il massimo si ha nel simmetrico del vertice e cioè in \(\displaystyle (3,2) \).
Riprendiamo la curva iniziale e ricordiamo che le $x$ restano invariate mentre le $y$ vanno elevate a quadrato. Possiamo quindi dire che incontra l'asse $y$ in \(\displaystyle (0,49) \) e l'asse $x$ in \(\displaystyle (1,0) \) e \(\displaystyle (7,0) \); questi ultimi due punti sono suoi minimi ma non più punti angolosi. Il massimo si ha in $(3,4)$.
Per il reciproco puoi considerare $y=1/(f(x))$, da cui ricavi $y'=-(f'(x))/([f(x)]^2)$: se non c'è un contemporaneo annullarsi di $f(x)$, $y'$ si annulla quando lo fa $f'(x)$ quindi le due curve hanno massimi e minimi alle stesse ascisse; la presenza del segno meno fa però sì che i massimi diventino minimi e viceversa. Quando una curva sale l'altra scende; la positività non cambia; quando $f(x)$ vale zero $y$ tende ad infinito e viceversa.
Quello che ho detto vale per qualunque curva e riguarda intersezioni con gli assi, massimi e minimi e asintoti orizzontali e verticali; non riguarda gli asintoti obliqui né (credo) i flessi.
Come esempio prendo $y=(x^2-6x+7)^2$: ho scelto una parabola solo per semplicità di calcoli. Disegnando ora la curva $y=|x^2-6x+7|$ notiamo che incontra l'asse y in \(\displaystyle (0,7) \) e l'asse x in \(\displaystyle (1,0 \)) e \(\displaystyle (7,0) \); questi ultimi due punti sono suoi minimi e sono punti angolosi. Il massimo si ha nel simmetrico del vertice e cioè in \(\displaystyle (3,2) \).
Riprendiamo la curva iniziale e ricordiamo che le $x$ restano invariate mentre le $y$ vanno elevate a quadrato. Possiamo quindi dire che incontra l'asse $y$ in \(\displaystyle (0,49) \) e l'asse $x$ in \(\displaystyle (1,0) \) e \(\displaystyle (7,0) \); questi ultimi due punti sono suoi minimi ma non più punti angolosi. Il massimo si ha in $(3,4)$.
Per il reciproco puoi considerare $y=1/(f(x))$, da cui ricavi $y'=-(f'(x))/([f(x)]^2)$: se non c'è un contemporaneo annullarsi di $f(x)$, $y'$ si annulla quando lo fa $f'(x)$ quindi le due curve hanno massimi e minimi alle stesse ascisse; la presenza del segno meno fa però sì che i massimi diventino minimi e viceversa. Quando una curva sale l'altra scende; la positività non cambia; quando $f(x)$ vale zero $y$ tende ad infinito e viceversa.
Penso di aver più o meno capito..posso sospettare di averlo ma non avere nessuna garanzia di precisione a riguardo 
Grazie Giammaria
Grazie Giammaria
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