Grafici delle funzioni goniometriche
Se si vuol fare un esempio con dei passaggi in cui si utilizzano dei numeri, come faccio a fare questo?
$ f(x+a)-> $ e' traslato orizzontalmente di $ -a $
Mi sembra di aver compreso.... Se la scrivo inquesto modo e' molto piu' chiara:
$ f(x+a)=y $
Corrissponde ai seguenti valori di $ x^^y $ :
$ y->y $
$ x->x+a $
Mi sembra ovvio che il valore di $ x $ diventera' $ x+a=0=>x=-a $
Giusto?
$ f(x+a)-> $ e' traslato orizzontalmente di $ -a $
Mi sembra di aver compreso.... Se la scrivo inquesto modo e' molto piu' chiara:
$ f(x+a)=y $
Corrissponde ai seguenti valori di $ x^^y $ :
$ y->y $
$ x->x+a $
Mi sembra ovvio che il valore di $ x $ diventera' $ x+a=0=>x=-a $
Giusto?
Risposte
Se voglio ricavare il $ sen alpha $ posso fare cosi':
$ sen alpha= +-sqrt(1-cos^2 alpha) $
il valore $ +- $ so che deriva dal fatto che al primo membro ho un quadrato e quindi il secondo membro puo' assumere due valori, ok, ma su una circonferenza goniometrica, come si puo' esporre il concetto?
Poi non sto capendo un passaggio in questa:
$ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $
Se elevo al quadrato entrambi i membri, ho:
$ tg^2 alpha +1 = (sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)+1 $
Ma da dove esce quel $ 1 $ al primo e al secondo membro?
Grazie mille!
$ sen alpha= +-sqrt(1-cos^2 alpha) $
il valore $ +- $ so che deriva dal fatto che al primo membro ho un quadrato e quindi il secondo membro puo' assumere due valori, ok, ma su una circonferenza goniometrica, come si puo' esporre il concetto?
Poi non sto capendo un passaggio in questa:
$ tg alpha = (sen alpha)/(cos alpha) $
Se elevo al quadrato entrambi i membri, ho:
$ tg^2 alpha +1 = (sen^2 alpha)/(cos^2 alpha)+1 $
Ma da dove esce quel $ 1 $ al primo e al secondo membro?
Grazie mille!
Per quanto riguarda il $+-$ esemplifichiamo supponendo che tu sappia che $cos alpha=3/5$; per fare il disegno devi prendere nella parte positiva del semiasse principale un segmento lungo i tra quinti del raggio e poi tracciare la perpendicolare a quell'asse. Essa incontra il cerchio goniometrico in due punti, corrispondenti agli angoli che hanno quel coseno: uno è nel primo quadrante e il seno è positivo e l'altro è nel quarto quadrante, con seno negativo.
Il ragionamento è analogo se il coseno è negativo o se sai il seno e vuoi il coseno.
Per il $+1$: è solo un artificio per giungere rapidamente alla formula voluta che credo sia $cos^2alpha=1/(tg^2alpha+1)$. Se non ti piace, ecco un altro modo:
$tg^2 alpha =(sin^2 alpha)/(cos^2alpha)=(1-cos^2alpha)/(cos^2alpha)=1/(cos^2alpha)-(cos^2alpha)/(cos^2alpha)=1/(cos^2alpha)-1=>tg^2alpha+1=1/(cos^2alpha)$
che è la stessa a cui si arriva aggiungendo subito il $+1$.
Il ragionamento è analogo se il coseno è negativo o se sai il seno e vuoi il coseno.
Per il $+1$: è solo un artificio per giungere rapidamente alla formula voluta che credo sia $cos^2alpha=1/(tg^2alpha+1)$. Se non ti piace, ecco un altro modo:
$tg^2 alpha =(sin^2 alpha)/(cos^2alpha)=(1-cos^2alpha)/(cos^2alpha)=1/(cos^2alpha)-(cos^2alpha)/(cos^2alpha)=1/(cos^2alpha)-1=>tg^2alpha+1=1/(cos^2alpha)$
che è la stessa a cui si arriva aggiungendo subito il $+1$.
Ok, adesso ho compreso perfettamente, gli step che hai utilizzato sono chiarissimi 
Ti ringrazio
Ti ringrazio
Se conosco la $ ctg alpha $ e devo calcolare il $ cos alpha $ , il $ sen alpha $ e la $ tg alpha $ , il testo mi da le seguenti formule:
$ cos alpha = (ctg alpha)/(+-sqrt(1+ctg^2 alpha)) $
Come ha fatto ad arrivare alle seguenti formule
$ sen alpha = (1)/(+-sqrt(1+ctg^2 alpha)) $
$ cos alpha = (ctg alpha)/(+-sqrt(1+ctg^2 alpha)) $
Come ha fatto ad arrivare alle seguenti formule
$ sen alpha = (1)/(+-sqrt(1+ctg^2 alpha)) $
Si parte dalle formule che esprimono seno e coseno in funzione della tangente e poi si ricorda che $tg alpha=1/(cotg alpha)$ e si fanno i calcoli. Oppure si parte da $cotg alpha=(cos alpha)/(sin alpha)$ e poi si calcola $cotg^2alpha+1$ in modo del tutto analogo a quello della precedente dimostrazione.
"giammaria":
Si parte dalle formule che esprimono seno e coseno in funzione della tangente e poi si ricorda che $tg alpha=1/(cotg alpha)$ e si fanno i calcoli. Oppure si parte da $cotg alpha=(cos alpha)/(sin alpha)$ e poi si calcola $cotg^2alpha+1$ in modo del tutto analogo a quello della precedente dimostrazione.
Ok,
Adesso svolgo i calcoli! Conosco la $ ctg alpha $, so che $ ctg alpha = (cos alpha)/(sen alpha) $ , sapendo che:
$ cos alpha = +-sqrt(1-sen^2 alpha) $
Artificio
$ ctg alpha = (+-sqrt(1-sen^2 alpha))/(sen alpha) $
$ ctg^2 alpha = (1-sen^2 alpha)/(sen^2 alpha) $
$ ctg^2 alpha = (1)/(sen^2 alpha)-(sen^2 alpha)/(sen^2 alpha) $
$ ctg^2 alpha = (1)/(sen^2 alpha)-1 $
$ ctg^2 alpha +1 = (1)/(sen^2 alpha) $
Se voglio calcolare il $ sen alpha $ allora:
$ sen^2 alpha = (1)/(ctg^2 alpha+1) => sen alpha = (1)/(+-sqrt(ctg^2 alpha+1)) $
Idem per $ sen alpha $ .....
Bravo.
"giammaria":
Bravo.
Grazie
Oggi ho preso una giornata di riposo, intendo riposo un giorno per rivedere gli ultimi concetti fatti, senza fare nulla di nuovo, penso che anche domani farò così
Adesso vedo se imparo a sciare d'estate
Ho fatto su carta e penna il grafico della funzione $ y=|2sen x| $ , poi lo replicato con Geogebra.
Ho risolto quattro funzioni:
1) $ y=sen x $
2) $ y=2sen x $
3) $ y=|sen x| $
4) $ y=|2sen x| $
E venuto il seguente grafico:
Si tratta di iniziare con il grafico di $ y=sen x $ inizia con il valore di $ y=0 $ perchè sappiamo che la circonferenza goniometrica, inizia a determinare i suoi angoli in senso antiorario, iniziando da est, poi nord, poi ovest e poi sud, quindi il $ sen alpha $ sarà zero iniziando dal suo valore $ 0^o $. La seconda funzione, ha il valore $ 2 $ e quindi si moltiplica per $ 2 $ il valore di $ y $ . Per i valori assoluti, si ribaltano gli stessi intorno ad $ x $ .
Ho risolto quattro funzioni:
1) $ y=sen x $
2) $ y=2sen x $
3) $ y=|sen x| $
4) $ y=|2sen x| $
E venuto il seguente grafico:
Si tratta di iniziare con il grafico di $ y=sen x $ inizia con il valore di $ y=0 $ perchè sappiamo che la circonferenza goniometrica, inizia a determinare i suoi angoli in senso antiorario, iniziando da est, poi nord, poi ovest e poi sud, quindi il $ sen alpha $ sarà zero iniziando dal suo valore $ 0^o $. La seconda funzione, ha il valore $ 2 $ e quindi si moltiplica per $ 2 $ il valore di $ y $ . Per i valori assoluti, si ribaltano gli stessi intorno ad $ x $ .
Caso 1
Se mi viene detto di tracciare il grafico della funzione:
$ y=1/2 tg x $
So che e' una funzione periodica, il grafico della tangente e' dato dai valori delle $ x $ che corrispondono alle lunghezze degli archi di circonferenza, e i valori delle $ y $ che sono dati dalle proiezioni orizzontali dei punti di intersezione della circonferenza e i segmenti uscenti dal centro $ O $ , giusto fin qui'
Se ho detto bene fin qui', allora nel caso della funzione $ y=1/2 tg x $, il grafico sara simile ma con i valori della $ y $ dimezzati, giusto Mentre i valori della $ x $ restano invariati, vero
Grazie mille!
Se mi viene detto di tracciare il grafico della funzione:
$ y=1/2 tg x $
So che e' una funzione periodica, il grafico della tangente e' dato dai valori delle $ x $ che corrispondono alle lunghezze degli archi di circonferenza, e i valori delle $ y $ che sono dati dalle proiezioni orizzontali dei punti di intersezione della circonferenza e i segmenti uscenti dal centro $ O $ , giusto fin qui'
Se ho detto bene fin qui', allora nel caso della funzione $ y=1/2 tg x $, il grafico sara simile ma con i valori della $ y $ dimezzati, giusto
Mentre i valori della $ x $ restano invariati, vero Grazie mille!
Giusto.
Caso 2
Se mi trovo con questa funzione $ y= cos x +1 $ posso fare le seguenti conclusioni:
Il primo grafico si ottiene dalla funzione $ y= cos x $ , nei rispettivi punti $ y->y' $ e $ x->x' $ .
Il secondo grafico si ottiene dalla funzione $ y= cos x +1 $ , nei rispettivi punti $ y->y' $ e $ x->x'+1 $ , in questo caso avrò il valore della $ x'+1=0=>x'=-1 $ .
Segue che la traslazione di vettore è $ v(-1,0) $
Va bene detta così
Se mi trovo con questa funzione $ y= cos x +1 $ posso fare le seguenti conclusioni:
Il primo grafico si ottiene dalla funzione $ y= cos x $ , nei rispettivi punti $ y->y' $ e $ x->x' $ .
Il secondo grafico si ottiene dalla funzione $ y= cos x +1 $ , nei rispettivi punti $ y->y' $ e $ x->x'+1 $ , in questo caso avrò il valore della $ x'+1=0=>x'=-1 $ .
Segue che la traslazione di vettore è $ v(-1,0) $
Va bene detta così
Caso 3
Disegnare il grafico della funzione $ y=|sen(x+pi/4)| $
1) Prima si disegna il grafico della funzione $ y = sen x $, con traslazione del vettore $ v(0,0) $.
2) Dopo si disegna il grafico della funzione $ y=sen(x+pi/4) $, con traslazione del vettore $ v(-pi/4,0) $.
3) Poi disegno il grafico della funzione $ y = |sen x| $, ribaltanto il grafico di $ y = sen x $ intorno all'asse $ x $, (solo la zona negativa, nella zona positiva), sarà dunque solo positiva.
4) Poi disegno il grafico della funzione $ y = |sen (x+pi/4)| $, ribaltanto il grafico di $ y = sen (x+pi/4)$ intorno all'asse $ x $, (solo la zona negativa, nella zona positiva), sarà dunque solo positiva.
Penso che vada bene!
Disegnare il grafico della funzione $ y=|sen(x+pi/4)| $
1) Prima si disegna il grafico della funzione $ y = sen x $, con traslazione del vettore $ v(0,0) $.
2) Dopo si disegna il grafico della funzione $ y=sen(x+pi/4) $, con traslazione del vettore $ v(-pi/4,0) $.
3) Poi disegno il grafico della funzione $ y = |sen x| $, ribaltanto il grafico di $ y = sen x $ intorno all'asse $ x $, (solo la zona negativa, nella zona positiva), sarà dunque solo positiva.
4) Poi disegno il grafico della funzione $ y = |sen (x+pi/4)| $, ribaltanto il grafico di $ y = sen (x+pi/4)$ intorno all'asse $ x $, (solo la zona negativa, nella zona positiva), sarà dunque solo positiva.
Penso che vada bene!
Caso 4
Disegnare il grafico della funzione $ y=|sen x -1/2| +y = sen |x| $
Allora.....
1) Prima disegno il grafico della funzione $ y=sen x $
Poi come devo fare ho due valori di $ y $ e poi ho due valori assoluti 
Disegnare il grafico della funzione $ y=|sen x -1/2| +y = sen |x| $
Allora.....
1) Prima disegno il grafico della funzione $ y=sen x $
Poi come devo fare
ho due valori di $ y $ e poi ho due valori assoluti
Caso 2) La tua soluzione andrebbe bene se la formula fosse $y=cos(x+1)$ ma non è così: il vettore di traslazione è $v(0,1)$
Caso 3) Giusto, ma il punto 3 è del tutto inutile: si passa direttamente dal 2 al 4.
Caso 4) Il testo mi è incomprensibile; sei sicuro di averlo copiato bene?
Caso 3) Giusto, ma il punto 3 è del tutto inutile: si passa direttamente dal 2 al 4.
Caso 4) Il testo mi è incomprensibile; sei sicuro di averlo copiato bene?
"giammaria":
Caso 2) La tua soluzione andrebbe bene se la formula fosse $y=cos(x+1)$ ma non è così: il vettore di traslazione è $v(0,1)$
Caso 3) Giusto, ma il punto 3 è del tutto inutile: si passa direttamente dal 2 al 4.
Caso 4) Il testo mi è incomprensibile; sei sicuro di averlo copiato bene?
Infatti la funzione $ y= cos x +1 $ e quindi devo pensarla in questo modo:
Il primo grafico si ottiene dalla funzione $ y= cos x $ , nei rispettivi punti $ y->y' $ e $ x->x' $ .
Il secondo grafico si ottiene dalla funzione $ y= cos x +1 $ , nei rispettivi punti $ y->y'=1 $ e $ x->x' $ , in questo caso avrò il valore della $ y' $, che è data dalla seguente $ y= cos x +1 =>y= +1 $, mentre se ci fosse la parentesi, allora sarebbe diverso in quanto sarebbe un prodotto tra $ cos $ e ciò che è dentro la parentesi $ (x+1) $
Giusto Segue che la traslazione di vettore è $ v(0,1) $
Per quanto riguarda il Caso 4, si ho copiato perfettamente il testo come è scritto sul libro:
$ y=|sen x -1/2| +y = sen |x| $
Dici che ci sarà un errore
Caso 5
Ma nel grafico della seguente funzione $ y=|tg x| $ , si disegna prima il grafico della funzione $ y = tg x $, ma quando disegno il grafico della funzione $ y=|tg x| $, come va ribaltata la parte intorno all'asse delle $ x $
Questo è quello della $ y = tg x $:
Ma come si ribalta nel caso di $ y=|tg x| $ Mi sembra di aver capito che la parte di grafico che è negativa, si ha quando il segmento che passa dal centro e interseca la tangente, si trova ad attraversare il secondo e quarto quadrante, quindi quella zona che è negativa, va ribaltata intorno ad $ x $ Ma come?
Vorrei replicarlo con Geogebra ma non so i tasti da pigiare
Ma nel grafico della seguente funzione $ y=|tg x| $ , si disegna prima il grafico della funzione $ y = tg x $, ma quando disegno il grafico della funzione $ y=|tg x| $, come va ribaltata la parte intorno all'asse delle $ x $
Questo è quello della $ y = tg x $:
Ma come si ribalta nel caso di $ y=|tg x| $
Mi sembra di aver capito che la parte di grafico che è negativa, si ha quando il segmento che passa dal centro e interseca la tangente, si trova ad attraversare il secondo e quarto quadrante, quindi quella zona che è negativa, va ribaltata intorno ad $ x $ Ma come? Vorrei replicarlo con Geogebra ma non so i tasti da pigiare
2) Bene, a parte il fatto che la scritta $cos(x+1)$ non è un prodotto; $x+1$ è l'angolo di cui calcoli il coseno.
4) C'è certo qualcosa che non va, almeno come chiarezza. L'unica ipotesi che riesco a fare è che il significato fosse: Su uno stesso grafico disegnare $y=|sinx-1/2|$ e $y=|sinx|$; sfruttando i risultati ottenuti disegnare $y=|sinx-1/2|+|sinx|$. Se è così, non è molto facile; consiglio di cominciare limitandoti alla solo prima domanda.
5) Hai disegnato solo parte del grafico della tangente perché i valori di $x$ variano solo da -1,5 ad 1,5. Prova a farli variare su un intervallo almeno doppio o triplo e datti una giustificazione per lo strano grafico trovato. Per il valore assoluto vale la solita regola: le parti di grafico sotto all'asse $x$ vanno ribaltate rispetto ad esso.
4) C'è certo qualcosa che non va, almeno come chiarezza. L'unica ipotesi che riesco a fare è che il significato fosse: Su uno stesso grafico disegnare $y=|sinx-1/2|$ e $y=|sinx|$; sfruttando i risultati ottenuti disegnare $y=|sinx-1/2|+|sinx|$. Se è così, non è molto facile; consiglio di cominciare limitandoti alla solo prima domanda.
5) Hai disegnato solo parte del grafico della tangente perché i valori di $x$ variano solo da -1,5 ad 1,5. Prova a farli variare su un intervallo almeno doppio o triplo e datti una giustificazione per lo strano grafico trovato. Per il valore assoluto vale la solita regola: le parti di grafico sotto all'asse $x$ vanno ribaltate rispetto ad esso.
"giammaria":
4) C'è certo qualcosa che non va, almeno come chiarezza. L'unica ipotesi che riesco a fare è che il significato fosse: Su uno stesso grafico disegnare $y=|sinx-1/2|$ e $y=|sinx|$; sfruttando i risultati ottenuti disegnare $y=|sinx-1/2|+|sinx|$. Se è così, non è molto facile; consiglio di cominciare limitandoti alla solo prima domanda.
Si, allora non ho problemi nel risolverlo! Per il momento lascio stare la seconda ipotesi e vado avanti!
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