Grafici delle equazioni in coordinate polari

[astruso83]

Salve a tutti,

Un'equazione $y=f(x)$ in coordinate Cartesiane $x$ e $y$ viene tracciata indicando sul piano tutti i punti $(x,y)$ che soddisfano l'equazione stessa. Lo stesso oggetto matematico puo' essere descritto anche attraverso un'equazione in coordinate polari $r$ e $\theta$ del tipo $r=f(\theta)$ visto che esistono relazioni fra le coordinate $x,y$ e $r,\theta$. Fin qui tutto chiaro.

Quando si traccia il grafico di un curva in coordinate polari si usano sempre gli assi Cartesiani invece degli assi con $r$ e $\theta$. Perche'? Per esempio, la curva $r=2$ e' un cerchio di raggio 2 ma se tracciata con gli assi $r$ e $\theta$ appare come una retta orizzontale. Con gli assi Cartesiani, il grafico e', appunto, un cerchio...

In genere, il sistema di riferimento e' una pura convenienza matematica. Perche' tracciare curve in coordinate Cartesiani, polari, cilindriche, ecc. avviene sempre usando il sistema di assi Cartesiani invece di assi relativi alle specifiche coordinate del sistema di coordinate in questione? Il sistema Cartesiano e' piu'...intuitivo e corrispondente alla realta'? Non credo...

Grazie!
Astruso83

[giammaria2]

Tu stesso parli di "assi $r$ e $\theta$" ed il contesto rende evidente che li stai pensando come assi cartesiani: basterebbe questo per dire che il sistema cartesiano è davvero più intuitivo. Certo, questo dipende anche dalla nostra abitudine, ma non è l'unico fattore a favore del sistema cartesiano.
Ad esempio, in quest'ultimo la più semplice linea possibile (la retta) corrisponde alla più semplice equazione (quella di primo grado). Risulta inoltre facilitato la studio delle curve generiche, come vedrai (o forse hai già visto) nell'ultimo anno di liceo.
Penso però che i pregi maggiori siano due:
- le coordinate cartesiane si estendono fino all'infinito, permettendo così di rappresentare fenomeni non limitati; ad esempio, con le coordinate polari non potresti rappresentare l'aumento di qualcosa al variare degli anni o dei secoli;
- c'è una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le loro coordinate; con le coordinate polari invece ad ogni punto corrispondono infiniti valori di $theta$.
E non escludo altri vantaggi.

[astruso83]

Grazie giammaria. Ottime osservazioni. Ho fatto un passo avanti. E' vero che parlo di "assi", che sono linee rette, cambiando le etichette con $r$ e $\theta$. Inoltre, le curve/superfici sulle quali le coordinate sono costanti hanno forme diverse in base al sistema di coordinate. Per esempio, tali curve sono rette per le coordinate Cartesiane e un cerchio e una retta per le coordinate polari. Queste curve sono sempre pero' tracciate nel sistema di coordinate Cartesiane $x,y,z$.

Mi permetto un'altra domanda, spero pertinente, relativa ai sistemi di coord.: ci sono anche le "coordinate intrinseche" che descrivono una curva localmente. La terna di assi ortogonali e' locale e varia origine e orientamento da punto a punto sulla curva. La terna Cartesiana e' invece fissa: i tre assi non cambiano direzione e nemmeno la loro origine... Che utlita' ha descrivere il moto (velocita', accelerazione, ecc.) di un oggetto, o un vettore in generale, con le coordinate intrinseche invece di quelle Cartesiane?

E' forse un'utile artificio per descrivere piu' snellamente quello che accade quando una particella si trova ad un preciso punto lungo la sua traiettoria?

Grazie!

[giammaria2]

"astruso83": Che utlita' ha descrivere il moto (velocita', accelerazione, ecc.) di un oggetto, o un vettore in generale, con le coordinate intrinseche invece di quelle Cartesiane?

Comincio col farti notare che sia le coordinate fisse che quelle intrinseche sono cartesiane, cioè riferite agli assi $x,y,z$: cambiano solo origine ed orientamento.
A parte questo, hai ragione nel pensare che spesso le coordinate intrinseche sono uno snellimento; ad esempio, è abbastanza facile dire che nella lavatrice l'acqua viene allontanata dai panni dalla forza centrifuga, mentre è più complicato pensare che questo avviene a causa dell'inerzia di moto.
Inoltre spesso siamo osservatori locali. Ad esempio, dirai certo che la sedia che stai usando è ferma: è falso perchè si sta muovendo insieme alla Terra, ma è più spontaneo riferire il moto a noi stessi.