Grado funzioni razionali e ordine di infinitesimi
Salve,
avrei dei dubbi da chiarire sulle funzioni razionali a variabile reale.
1)una funzione razionale $(p(x))/g(x)$ formata da polinomio al numeratore e polinomio al denominatore può essere considerata , in generale come un polinomio?
io so che se il grado di P è maggiore del grado di g si ha : $(p(x))/g(x))= Q(x)+(R(x))/(g(x))$ con Q= quoziente e R= resto:
e questa forma dovrebbe essere più simile ad un polinomio;
ma se il grado del denominatore è maggiore del numeratore c'è una formula per esprimere la funzione o resta così com'è ?
______________________________________________________
Mentre per quanto riguarda il grado di una funzione razionale come bisogna procedere ?
se abbiamo ad esempio $y=(x+1)/(x^2+1)$ il termine massimo è di 2° grado ma la funzione dovrebbe essere di 3° ;
vorrei capire come arrivarci....
grazie
avrei dei dubbi da chiarire sulle funzioni razionali a variabile reale.
1)una funzione razionale $(p(x))/g(x)$ formata da polinomio al numeratore e polinomio al denominatore può essere considerata , in generale come un polinomio?
io so che se il grado di P è maggiore del grado di g si ha : $(p(x))/g(x))= Q(x)+(R(x))/(g(x))$ con Q= quoziente e R= resto:
e questa forma dovrebbe essere più simile ad un polinomio;
ma se il grado del denominatore è maggiore del numeratore c'è una formula per esprimere la funzione o resta così com'è ?
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Mentre per quanto riguarda il grado di una funzione razionale come bisogna procedere ?
se abbiamo ad esempio $y=(x+1)/(x^2+1)$ il termine massimo è di 2° grado ma la funzione dovrebbe essere di 3° ;
vorrei capire come arrivarci....
grazie
Risposte
Per definizione, un polinomio è la somma di due o più monomi, quindi una funzione razionale fratta non è un polinomio. Però rifacciamoci al tuo esempio, $y=(x+1)/(x^2+1)$: dando denominatore comune e portando tutto a primo membro otteniamo $x^2y+y-x-1=0$ e questo è un polinomio nelle due incognite $x,y$ eguagliato a zero. Il suo addendo di grado complessivo maggiore è $x^2y$, che è appunto di terzo grado complessivo.
Quanto alla domanda sul resto, se il numeratore ha grado inferiore al denominatore non ci sono formule. E' come nella divisione fra i numeri interi, pensando che un numero maggiore corrisponda a un polinomio di grado maggiore. Consideriamo 45:7=6 con resto 3: l'analogo della formula che citi è $45/7=6+3/7$. Se però il numeratore è inferiore al denominatore questo non serve a niente: 5:13=0 con resto 5 e la formula diventa $5/13=0+5/13$ e siamo tornati al punto di partenza.
Quanto alla domanda sul resto, se il numeratore ha grado inferiore al denominatore non ci sono formule. E' come nella divisione fra i numeri interi, pensando che un numero maggiore corrisponda a un polinomio di grado maggiore. Consideriamo 45:7=6 con resto 3: l'analogo della formula che citi è $45/7=6+3/7$. Se però il numeratore è inferiore al denominatore questo non serve a niente: 5:13=0 con resto 5 e la formula diventa $5/13=0+5/13$ e siamo tornati al punto di partenza.
grazie mille giammaria; chiarissimo.
...nel caso dovremmo analizzare l'ordine di infinitesimo di una funzione razionale come quella nell'esempio appena fatto...
si comporta come la funzione polinomiale? cioè coincidente con il grado della funzione ?
nel nostro caso ordine 3.
????
...nel caso dovremmo analizzare l'ordine di infinitesimo di una funzione razionale come quella nell'esempio appena fatto...
si comporta come la funzione polinomiale? cioè coincidente con il grado della funzione ?
nel nostro caso ordine 3.
????
Parli di infinitesimo, quindi suppongo che tu stia facendo tendere $x$ ad infinito. Se hai un polinomio con due incognite, non ha senso farne tendere ad infinito una sola, quindi la risposta è no. Puoi invece ragionare sulla funzione così come era stata data: il numeratore ha grado 1 e il denominatore 2, quindi c'è un infinitesimo di primo grado.
Aggiungo che sono noti metodi per analizzare una funzione data nella forma implicita $f(x,y)=0$ e fra l'altro studiano il suo comportamento all'infinito; non credo però che rientrino fra gli argomenti che incontrerai.
Aggiungo che sono noti metodi per analizzare una funzione data nella forma implicita $f(x,y)=0$ e fra l'altro studiano il suo comportamento all'infinito; non credo però che rientrino fra gli argomenti che incontrerai.
"giammaria":
Parli di infinitesimo, quindi suppongo che tu stia facendo tendere $x$ ad infinito. Se hai un polinomio con due incognite, non ha senso farne tendere ad infinito una sola, quindi la risposta è no. Puoi invece ragionare sulla funzione così come era stata data: il numeratore ha grado 1 e il denominatore 2, quindi c'è un infinitesimo di primo grado.
Aggiungo che sono noti metodi per analizzare una funzione data nella forma implicita $f(x,y)=0$ e fra l'altro studiano il suo comportamento all'infinito; non credo però che rientrino fra gli argomenti che incontrerai.
scusa!
non ho potuto rispondere subito....
comunque
di solito no, non per forza la x deve tendere ad infinito per far si che la funzione sia infinitesima , comunque non mi riferisco ad un polinomio a due incognite , ma ad una semplice funzione razionale come quella citata sopra ;
per esempio nel caso della funzione soprastante alla $x$ che tende a $-1$ possiamo dire che è un infinitesimo per quel $x_0 to -1$ ;
ecco ma in questo caso, come si stabilisce l'ordine preciso di infinitesimo della funzione??
e questo il dubbio
Hai ragione; il mio errore deriva dal fatto che spesso, per $x->c$, non ci si chiede l'ordine di infinitesimo, ma solo quello di infinito. Per rispondere basta comunque modificare lievemente le solite definizioni: in quel caso, una funzione $f(x)$ ha un infinitesimo di ordine $k$ se è finito e diverso da zero il $lim_(x->c)((f(x))/((x-c)^k))$
"giammaria":
Hai ragione; il mio errore deriva dal fatto che spesso, per $x->c$, non ci si chiede l'ordine di infinitesimo, ma solo quello di infinito. Per rispondere basta comunque modificare lievemente le solite definizioni: in quel caso, una funzione $f(x)$ ha un infinitesimo di ordine $k$ se è finito e diverso da zero il $lim_(x->c)((f(x))/((x-c)^k))$
come facciamo a calcolare quel limite , se noi stiamo cercando il valore $k$
??
Di solito è evidente. Mi riferisco al tuo esempio iniziale: $lim_(x->-1)(x+1)/(x^2+1)$: dividendo per $(x+1)^1$ non tende più a zero, quindi l'infinitesimo è di grado 1. Se non è così evidente, si lascia provvisoriamente $k$ e ci si chiede come uscire dalla forma indeterminata in questione; una volta risolto questo problema, si capisce qual'è il giusto valore da attribuire a $k$.
"giammaria":
Di solito è evidente. Mi riferisco al tuo esempio iniziale: $lim_(x->-1)(x+1)/(x^2+1)$: dividendo per $(x+1)^1$ non tende più a zero, quindi l'infinitesimo è di grado 1. Se non è così evidente, si lascia provvisoriamente $k$ e ci si chiede come uscire dalla forma indeterminata in questione; una volta risolto questo problema, si capisce qual'è il giusto valore da attribuire a $k$.
capito....
e se non erro nei casi che quel limite ci restitusce $0$ o $+-infty$
non possiamo definirla infinitesima di quell'ordine
.thankx chiarissimo.
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