Goniometria...quando usare prostaferesi e werner?

[Peppe.99]

Goniometria Formule di Werner e prostaferesi nei seguenti esercizi:

1) cos(x) + cos 2x + cos 3x + cos 4x =0;

2) cos 5x * sen 3x = cos 6x * sen 2x;
qui ho applicato Werner ma non è riuscito o meglio mi sono bloccato
Aiutatemi per favore è per domani :/

[mc2]

Primo esercizio:

si usa prostaferesi

[math]\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x=0 [/math]

[math](\cos x + \cos 3x) + (\cos 2x + \cos 4x)=0 [/math]

[math] 2\cos 2x \cos x+ 2\cos 3x\cos x= 0 [/math]

[math]2\cos x(\cos 2x +\cos 3x)=0 [/math]

[math]4\cos x\,\cos\frac{5x}{2}\,\cos\frac{x}{2}=0[/math]

Quindi le soluzioni sono:

[math]\cos x=0~~~\Rightarrow~~~ x=\frac{\pi}{2}+N\pi~~~(N=0,\pm 1,\dots)[/math]

[math]\cos \frac{x}{2}=0~~~\Rightarrow~~~ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+N\pi~,~~~
x={\pi}+{2}N\pi
~~~(N=0,\pm 1,\dots)[/math]

[math]\cos \frac{5x}{2}=0~~~\Rightarrow~~~ \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+N\pi~,~~~
x=\frac{\pi}{5}+\frac{2}{5}N\pi
~~~(N=0,\pm 1,\dots)[/math]

Secondo esercizio:

[math]\cos 5x \sin 3x = \cos 6x \sin 2x[/math]

[math]\frac{1}{2}(\sin 8x -\sin 2x)=\frac{1}{2}(\sin 8x -\sin 4x)[/math]

[math]\sin 2x=\sin 4x[/math]

[math]\sin 2x=2\sin 2x \cos 2x[/math]

[math]\sin 2x(1-2\cos 2x)=0[/math]

Soluzioni:

[math]\sin {2x}=0~~~\Rightarrow~~~ 2x=N\pi~,~~~
x=N\frac{\pi}{2} ~~~(N=0,\pm 1,\dots)[/math]

[math]\cos {2x}=\frac{1}{2}~~~\Rightarrow~~~ 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2N\pi~,~~~
x=\pm\frac{\pi}{6}+N{\pi} ~~~(N=0,\pm 1,\dots)[/math]