Goniometria
Buonasera a tutti..sto dando una vista alle equazioni goniometriche che andremo ad affrontare domani..ve ne posto una su cui ho incontrato delle difficoltà legate più credo ai radicali doppi.
$4*(1-sqrt3) sen^2x + 4senx - (3-sqrt3) =0 $
la risolvo come una comune equazione di secondo grado e arrivo al delta
$Delta = 16 - 16*(6-4sqrt3) = 16(4sqrt3-5) $ ora come proseguo con i radicali doppi?
Colgo l'occasione per mostrarvi anche un'identità che non riesco a terminare:
$(sen (alpha/2)) / (1-cos(alpha)) + (cos(alpha/2)) / (1+cos(alpha)) = (sen(alpha/2) + cos(alpha/2))/ (sen alpha).$ Allora ecco dove sono arrivata io:
$sen(alpha/2) (1+cos alpha) + cos(alpha/2) (1- cos alpha) = sen alpha (sen (alpha/2) + cos (alpha/2))
$ sen (alpha/2) + sen (alpha/2)* cos alpha + cos (alpha/2) - cos (alpha/2)*cos alpha = sen alpha* sen(alpha/2) + sen alpha cos (alpha/2)$
qualche suggerimento per proseguire?..ho provato con un raccoglimento ma non arrivo da nessuna parte..ma forse è l'ora che per me non è la più adatta..vabbè vi ringrazio anticipatamente!
$4*(1-sqrt3) sen^2x + 4senx - (3-sqrt3) =0 $
la risolvo come una comune equazione di secondo grado e arrivo al delta
$Delta = 16 - 16*(6-4sqrt3) = 16(4sqrt3-5) $ ora come proseguo con i radicali doppi?
Colgo l'occasione per mostrarvi anche un'identità che non riesco a terminare:
$(sen (alpha/2)) / (1-cos(alpha)) + (cos(alpha/2)) / (1+cos(alpha)) = (sen(alpha/2) + cos(alpha/2))/ (sen alpha).$ Allora ecco dove sono arrivata io:
$sen(alpha/2) (1+cos alpha) + cos(alpha/2) (1- cos alpha) = sen alpha (sen (alpha/2) + cos (alpha/2))
$ sen (alpha/2) + sen (alpha/2)* cos alpha + cos (alpha/2) - cos (alpha/2)*cos alpha = sen alpha* sen(alpha/2) + sen alpha cos (alpha/2)$
qualche suggerimento per proseguire?..ho provato con un raccoglimento ma non arrivo da nessuna parte..ma forse è l'ora che per me non è la più adatta..vabbè vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Allora per i radicali doppi vale la seguente identità:
$ \sqrt(a + \sqrt(b)) = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $
opp quando c'è il meno:
$ \sqrt(a - \sqrt(b)) = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $
Però attenzione, queste identità sono realmente verificate a patto che $a$, $b$ ed $a^2 - b$ siano positivi.
Nel caso in cui ti trovi qualcosa come nel tuo caso del tipo:
$ \sqrt(a - c\sqrt(b))
allora devi prima portare la $c$ nella radice, e poi applichi le formule di sopra.
Per il secondo problema,
se metti in evidenza è meglio:
$ (1-senalpha)(sen(alpha/2)+cos(alpha/2))=cosalpha(cos(alpha/2)-sen(alpha/2))$
poi moltiplica tutto per $cos(alpha/2)+sen(alpha/2)$ e il gioco è fatto.
Qualsiasi altro dubbio chiedi pure. Ciao
$ \sqrt(a + \sqrt(b)) = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $
opp quando c'è il meno:
$ \sqrt(a - \sqrt(b)) = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} $
Però attenzione, queste identità sono realmente verificate a patto che $a$, $b$ ed $a^2 - b$ siano positivi.
Nel caso in cui ti trovi qualcosa come nel tuo caso del tipo:
$ \sqrt(a - c\sqrt(b))
allora devi prima portare la $c$ nella radice, e poi applichi le formule di sopra.
Per il secondo problema,
se metti in evidenza è meglio:
$ (1-senalpha)(sen(alpha/2)+cos(alpha/2))=cosalpha(cos(alpha/2)-sen(alpha/2))$
poi moltiplica tutto per $cos(alpha/2)+sen(alpha/2)$ e il gioco è fatto.
Qualsiasi altro dubbio chiedi pure. Ciao
"leena":
$a^2 - b$ siano positivi.
E $a^2 - b$ è un quadrato perfetto: altrimenti ti complichi la vita.
"Lucky91":
Buonasera a tutti..sto dando una vista alle equazioni goniometriche che andremo ad affrontare domani..ve ne posto una su cui ho incontrato delle difficoltà legate più credo ai radicali doppi.
$4*(1-sqrt3) sen^2x + 4senx - (3-sqrt3) =0 $
la risolvo come una comune equazione di secondo grado e arrivo al delta
$Delta = 16 - 16*(6-4sqrt3) = 16(4sqrt3-5) $ ora come proseguo con i radicali doppi?
Hai fatto un errore di segno $Delta = 16 + 16*(6-4sqrt3) = 16(7-4sqrt3) $ e su questo è facile l'applicazione delle formule che ti hanno già consigliato.
Oppure puoi osservare che $7-4sqrt3=4-4sqrt3+3=(2-sqrt3)^2 $
..ho letto solo ora perchè ho avuto problemi con la connessione..un grazie a tutti e tre.. 
Per il secondo problema penso che il metodo più facile sia ricordare che $1-cos \alpha=2 sin^2 (alpha /2)$ e l'analoga col +; le frazioni a primo membro si semplificano e dando poi denominatore comune ottieni il secondo.
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