Goniometria
1) Verificare che :
4*arctg(2)-arctg(17/31)=45°
2)Dimostrare che se risulta tg(2*alfa+beta)=7*tg(alfa)
e' pure :
sin(3*alfa+beta)=4/3*sin(alfa+beta).
Naturalmente sono gradite le relative..pezze di appoggio.
karl.
4*arctg(2)-arctg(17/31)=45°
2)Dimostrare che se risulta tg(2*alfa+beta)=7*tg(alfa)
e' pure :
sin(3*alfa+beta)=4/3*sin(alfa+beta).
Naturalmente sono gradite le relative..pezze di appoggio.
karl.
Risposte
1) Ma gli angoli al primo membro sono in gradi
o in radianti? Io suppongo siano in gradi, allora
li ho convertiti in radianti, ho riscritto l'identità
e prima di buttarmi nei calcoli l'ho fatta verificare
a Derive: lui dice che non è vera...
Potresti chiarire la faccenda?
o in radianti? Io suppongo siano in gradi, allora
li ho convertiti in radianti, ho riscritto l'identità
e prima di buttarmi nei calcoli l'ho fatta verificare
a Derive: lui dice che non è vera...
Potresti chiarire la faccenda?
Confermo la domanda di fireball, l'identità non è verificata:
in radianti la semplificazione finale è: (5*pi)/4=pi/4
Ciao, Ermanno
in radianti la semplificazione finale è: (5*pi)/4=pi/4
Ciao, Ermanno
Se gli angoli al primo membro sono in gradi,
allora, se dopo aver convertito tutto in radianti
si dà in input a Derive l'identità, lui restituisce: pi²/144 = pi/4
allora, se dopo aver convertito tutto in radianti
si dà in input a Derive l'identità, lui restituisce: pi²/144 = pi/4
I valori al primo membro ( e cioe' 2 e
17/31) sono numeri :non capisco di quali
altri angoli si parla.L'unico angolo che vedo
e' quel 45° al secondo membro:se volete potete
pensare che sia scritto come Pi/4.Non cambia
nulla e l'identita' e' vera.
karl.
17/31) sono numeri :non capisco di quali
altri angoli si parla.L'unico angolo che vedo
e' quel 45° al secondo membro:se volete potete
pensare che sia scritto come Pi/4.Non cambia
nulla e l'identita' e' vera.
karl.
* Forse così và meglio:
tg [4*arctg(2)-arctg(17/31)]= tg(45°)
ma vediamo cosa dice karl! Cmq io nn sono passato in radianti (potete una volta o l'altra scrivere i calcoli o perlomeno impostarli bene?). Io ho posto
arctg(2)=alfa
arctg(17/31)=beta
e quindi l'equazione è
4*alfa=45°+beta
prendendo le tangenti di entrambi i membri e calcolandone i valori numerici tramite somma e duplicazione (2 volte) tangente si ottiene una identità...
Lascio il piacere a voi di scrivere la soluzione del secondo (+ o - dello stesso livello del primo)
tg [4*arctg(2)-arctg(17/31)]= tg(45°)
ma vediamo cosa dice karl! Cmq io nn sono passato in radianti (potete una volta o l'altra scrivere i calcoli o perlomeno impostarli bene?). Io ho posto
arctg(2)=alfa
arctg(17/31)=beta
e quindi l'equazione è
4*alfa=45°+beta
prendendo le tangenti di entrambi i membri e calcolandone i valori numerici tramite somma e duplicazione (2 volte) tangente si ottiene una identità...
Lascio il piacere a voi di scrivere la soluzione del secondo (+ o - dello stesso livello del primo)
Forse ha ragione Thomas, infatti l'uguaglianza si riduce 1=1.
Boh, forse karl hai omesso le tangenti?
Ciao, Ermanno.
Boh, forse karl hai omesso le tangenti?
Ciao, Ermanno.
Ho applicato la formula:
arctg(x)+-arctg(y)=arctg[(x+-y)/(1-+xy)]
In particolare per x=y
2arctg(x)=arctg[(2x)/(1-x^2)]
Applicando queste formule ad 4arctg(2):
4*arctg(2)=2*(2*arctg2)=2*arctg[4/(1-4)]=-2*arctg(4/3)=
=-arctg[(8/3)/(1-16/9)]=arctg(24/7)
Dunque:
1°membro=arctg(24/7)-arctg(17/31)=
=arctg([(24/7-17/31)/(1+24/7*17/31)]=arctg(1)=45°.
Le formule precedenti le ho sempre applicate senza
problemi.
karl.
arctg(x)+-arctg(y)=arctg[(x+-y)/(1-+xy)]
In particolare per x=y
2arctg(x)=arctg[(2x)/(1-x^2)]
Applicando queste formule ad 4arctg(2):
4*arctg(2)=2*(2*arctg2)=2*arctg[4/(1-4)]=-2*arctg(4/3)=
=-arctg[(8/3)/(1-16/9)]=arctg(24/7)
Dunque:
1°membro=arctg(24/7)-arctg(17/31)=
=arctg([(24/7-17/31)/(1+24/7*17/31)]=arctg(1)=45°.
Le formule precedenti le ho sempre applicate senza
problemi.
karl.
Non vale! Avete proseguito a fare il primo esercizio in mia assenza!!!
Lo sapete benissimo quanto mi piacciono gli esercizi di trigonometria!!! [:(!] [:D][:D][;)]
Lo sapete benissimo quanto mi piacciono gli esercizi di trigonometria!!! [:(!] [:D][:D][;)]
Se proprio ci tieni "beccate questo":
cotg10°*cotg30°*cotg50°*cotg70°=3
Niente calcolatrici e software matematici!
karl.
cotg10°*cotg30°*cotg50°*cotg70°=3
Niente calcolatrici e software matematici!
karl.
Karl, stavo scherzando! Non hai visto gli smiles?
Comunque io "tenevo" all'esercizio con l'arcotangente,
non a questo, anche se questo pure non mi sembra male...
Sta tranquillo che non lo trascurerò!!!
Comunque io "tenevo" all'esercizio con l'arcotangente,
non a questo, anche se questo pure non mi sembra male...
Sta tranquillo che non lo trascurerò!!!
quote:
Originally posted by karl
arctg(1)=45°.
Nn ho tempo per rivedere bene i calcoli, ma secondo me svolgendo i calcoli si deve ammettere
arctg(1)=45°
arctg(1)=225°
e il secondo risultato è quello corretto. Difatti se nella uguaglianza prendiamo arctg(2) e arctg(17/31) compresi tra 0 e 90° come vuole la definizione di arctg (se ben ricordo) il risultato, calcolatrice alla mano è 225°...
a parte questo, prima del (3), qualcuno si dia da fare per il (2) che nn è stato ancora risolto...hint: applicate la formula per la somma di seni...
L'osservazione di Thomas e' giusta;a tal proposito,
e' importante ricordare che:
atan(x)+atan(y)=atan[(x+y)/(1-xy)]+k*Pi
dove:
a)k=0 if (xy<1)
b)k=-1 if (xy>1 and x<0)
c)k=+1 if (xy>1 and x>0)
karl.
e' importante ricordare che:
atan(x)+atan(y)=atan[(x+y)/(1-xy)]+k*Pi
dove:
a)k=0 if (xy<1)
b)k=-1 if (xy>1 and x<0)
c)k=+1 if (xy>1 and x>0)
karl.
quote:
Originally posted by karl
Se proprio ci tieni "beccate questo":
cotg10°*cotg30°*cotg50°*cotg70°=3
Niente calcolatrici e software matematici!
karl.
Nn ho trovato molte soluzioni più incasinate, ma sono pur sempre soluzioni, no? D'altronde in questo sito finora nn ho scritto bestialità. Posso farlo ora!
Step1. Uccidiamo le ctg...
Incominciamo a tirare fuori qualche seno e coseno, riscrivendo:
3(sen10*sen30*sen50*sen70)=cos10*cos30*cos50*cos70
Step 2. Prostaferesi...
3/4 (cos20-cos40)(cos20-cos120)= 1/4 (cos40+cos20)(cos120+cos20)
cos^2(20)-2*cos20*cos120-2*cos40*cos20+cos40*cos120=0
Step 3. Incontriamo qualche amico riconoscibile...
cos^2(20)+cos20-2*cos40*cos20-1/2*cos40=0
2*cos^2(20)+2*cos20-4*cos40*cos20-cos40=0
cos40*(4cos20+1)=2*cos^2(20)+2*cos20
Step 4. Duplicazione coseno
(2*cos^2(20)-1)*(4cos20+1)=2*cos^2(20)+2*cos20
8*cos^3(20)-6*cos20-1=0
Step 5. Accanimento algebrico...
Notiamo che:
sen40=sen(60-20)=rad(3)/2*cos20-1/2*sen20 e che
sen40=2*sen20*cos20
uguagliando le due espresseioni abbiamo una espressione con incognita l'angolo di 20°.
rad(3)*cos20-sen20=4*sen20*cos20
sen20=rad(3)*cos20/(4*cos20+1)
inserendo questo valore nella relazione fondamentale della trigonometria:
16*cos^4(20)+8*cos^3(20)-12*cos^2(20)-8*cos(20)-1=0
che per ruffini (o semplicemente con altri metodi)diventa
(2*cos20+1)(8*cos^3(20)-6*cos20-1)=0
il primo fattore nn si annulla mai: deve farlo quindi il secondo...ma questo è proprio quello che dovevami dimostrare alla fine dello step4 e quindi il problema è concluso, anche se in un modo un pò complicato!
Sono le formule inverse (per cosi' dire) di note
formule di goniometria.Se ne possono ricavare, allo
stesso modo,molte altre.
Per esempio da :tg(2a)=2tg(a)/(1-tg^2a) si ottiene:
2a=arctg[2tg(a)/(1-tg^2a)] e ponendo tg(a)=x
( da cui a=arctg(x)) si ha:
2arctg(x)=arctg[2x/(1-x^2)].
Occorre tuttavia non dimenticarsi dei relativi
domini d'esistenza per non incorrere in incongruenze.
[La tua immagine non si vede.]
karl.
formule di goniometria.Se ne possono ricavare, allo
stesso modo,molte altre.
Per esempio da :tg(2a)=2tg(a)/(1-tg^2a) si ottiene:
2a=arctg[2tg(a)/(1-tg^2a)] e ponendo tg(a)=x
( da cui a=arctg(x)) si ha:
2arctg(x)=arctg[2x/(1-x^2)].
Occorre tuttavia non dimenticarsi dei relativi
domini d'esistenza per non incorrere in incongruenze.
[La tua immagine non si vede.]
karl.
karl tu hai trovato sol migliori al 3°?
Ne ho trovata una diversa (non so se migliore) ma
per ora non la posto.Poi ti spiego.
karl.
per ora non la posto.Poi ti spiego.
karl.
Nn riesco nemmeno a modificare tranquillamente i msg...cosa è successo al sito? O al mio pc (SPERO DI NO!)?
Ho cancellato i miei vecchi inutili msg... A breve o karl o io(se karl permette) posteremo una soluzione molto più figa e generale del 3°, opera di karl, al quale faccio i miei più vivi complimenti!
@Thomas.
Grazie per i complimenti.Quanto alla soluzione
fai te.
karl.
Grazie per i complimenti.Quanto alla soluzione
fai te.
karl.
Sia p un intero dispari.Le radici del polinomio x^(2p)-1
sono -1,+1,e p-1 coppie di complessi coniugati aventi somma
2cos(2kPi/2p) e per prodotto 1.
Analogamente le radici del polinomio x^p-1
sono 1 e (p-1)/2 coppie di complessi coniugati aventi somma
2cos(2kPi/p) e per prodotto 1.Pertanto:
(x^(2p)-1)/(x^2-1)=
=Prod[k=1..(p-1)](x2-2xcos(2kPi/2p)+1)
e per x=1:
p=2^(2p-2)Prod[k=1..(p-1)](sin2(kPi/2p))
Ovvero:
(a) sqrt(p)/2^(p-1)=Prod[k=1..(p-1)](sin(kPi/2p))
(x^p-1)/(x-1)=
=Prod[k=1..(p-1)/2](x2-2xcos(2kPi/p)+1)
e per x=1:
p=2^(p-1)Prod[k=1..(p-1)/2](sin2(kPi/p))
Ovvero:
sqrt(p)/2^(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(kPi/p))
Oppure:
(b) sqrt(p)/2^(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(2kPi/2p))
[=Prod[k=1..(p-1)/2](cos((p-2k)Pi/2p)]
Dividendo (a) per (b):
(c) 1/2^[(p-1)/2]=Prod[k=1..(p-1)/2](sin[(2k-1)Pi/2p])
Osserviamo ora che,essendo (p-2k)/2+(2k-1)/2=(p-1)/2,gli argomenti
dei seni e dei coseni in (b) e (c) sono i medesimi (anche se in
ordine inverso) e quindi, dividendo (b) per (c), risulta:
sqrt(p)=Prod[k=1..(p-1)/2](cotg[(2k-1)Pi/2p])
per p=9 si ottiene:
cotg10°cotg30°cotg50°cotg70°=3
Ho fatto una banale copie a incolla ma è da tanto cerco la voglia per scriverla da mè e nn la trovo...
sono -1,+1,e p-1 coppie di complessi coniugati aventi somma
2cos(2kPi/2p) e per prodotto 1.
Analogamente le radici del polinomio x^p-1
sono 1 e (p-1)/2 coppie di complessi coniugati aventi somma
2cos(2kPi/p) e per prodotto 1.Pertanto:
(x^(2p)-1)/(x^2-1)=
=Prod[k=1..(p-1)](x2-2xcos(2kPi/2p)+1)
e per x=1:
p=2^(2p-2)Prod[k=1..(p-1)](sin2(kPi/2p))
Ovvero:
(a) sqrt(p)/2^(p-1)=Prod[k=1..(p-1)](sin(kPi/2p))
(x^p-1)/(x-1)=
=Prod[k=1..(p-1)/2](x2-2xcos(2kPi/p)+1)
e per x=1:
p=2^(p-1)Prod[k=1..(p-1)/2](sin2(kPi/p))
Ovvero:
sqrt(p)/2^(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(kPi/p))
Oppure:
(b) sqrt(p)/2^(p-1)/2=Prod[k=1..(p-1)/2](sin(2kPi/2p))
[=Prod[k=1..(p-1)/2](cos((p-2k)Pi/2p)]
Dividendo (a) per (b):
(c) 1/2^[(p-1)/2]=Prod[k=1..(p-1)/2](sin[(2k-1)Pi/2p])
Osserviamo ora che,essendo (p-2k)/2+(2k-1)/2=(p-1)/2,gli argomenti
dei seni e dei coseni in (b) e (c) sono i medesimi (anche se in
ordine inverso) e quindi, dividendo (b) per (c), risulta:
sqrt(p)=Prod[k=1..(p-1)/2](cotg[(2k-1)Pi/2p])
per p=9 si ottiene:
cotg10°cotg30°cotg50°cotg70°=3
Ho fatto una banale copie a incolla ma è da tanto cerco la voglia per scriverla da mè e nn la trovo...
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