Goniometria

[simone.montanari.92]

buongiorno
sto aiutando mia sorella che non è una cima in matematica, ma io queste cose non le ho ancora fatte
ho letto qualche formula, ma non ho capito molto
ad esempio avendo la seguente identità
$ (sin alpha + sin2alpha+sin3alpha)/(cosalpha+cos2alpha+cos3alpha)=(sinalpha-sin2alpha+sin3alpha)/(cosalpha-cos2alpha+cos3alpha) $

io, senza sapere niente, ho ragionato come un bambino e ho sommato ottenendo
$ (sin6alpha)/(cos6alpha)=(sin2alpha)/(cos2alpha) $

poi ho semplificato tutto così alla fine ho $ tanalpha=tanalpha $ e come risultato andrebbe bene

ora vi chiedo, dato che sicuramente il procedimento non è quello giusto, mi potete dare un imput per iniziare?

di esercizi di questo tipo mia sorella ne deve fare vari, e in alcuni abbiamo usato questo metodo e la maggior parte vengono

Grazie milleee

[burm87]

I passaggi che hai fatto sono, gravemente , errati. Nel senso che $alpha$, $2alpha$, $3alpha$ sono gli argomenti delle funzioni seno e quindi non possono essere sommati tra loro come hai fatto. Possono essere sommate funzioni goniometriche con lo stesso argomento: $2sinalpha+5sinalpha=7sinalpha$, oppure $3sin3alpha-sin3alpha=2sin3alpha$.

Ora nello specifico non so cosa dica il testo di quell'esercizio, ma io procederei tentando di scrivere tutta la tua espressione in funzione di seni e coseni dello stesso angolo. Per fare questo ci sono varie formule, si chiamano formule di duplicazione e formule di somma/sottrazione, tua sorella le ha fatte a scuole? Può utilizzarle?

In alternativa mi verrebbe in mente di fare un brutto denominatore comune e procedere in maniera "classica".

[Zero87]

"burm87":Ora nello specifico non so cosa dica il testo di quell'esercizio, ma io procederei tentando di scrivere tutta la tua espressione in funzione di seni e coseni dello stesso angolo. Per fare questo ci sono varie formule, si chiamano formule di duplicazione e formule di somma/sottrazione, tua sorella le ha fatte a scuole? Può utilizzarle?

In genere si fanno prima delle identità anche perché servono apposta per usarle.

Aggiungo solo che fino a quando si tratta di $cos(2\alpha)$, $sin(2\alpha)$ le formule di addizione/sottrazione (o duplicazione per advancer user ) sono abbastanza agevoli.
Però, quando si ha $cos(3\alpha)$ o $sin(3\alpha)$ a meno di non ricordarsi formule più complesse, si può procedere tenendo a mente che $3\alpha=2\alpha+\alpha$ e usare la solita formula di somma dopodiché riusarla sui termini con argomento $2\alpha$.

E' un procedimento lungo e macchinoso, ma garantisce un'interessante probabilità di "vittoria".

[simone.montanari.92]

grazie per le risposte

si, le ha fatte le formule di duplicazione. quindi con queste riesce a farle tranquillamente?

l'esercizio è far si che ciò che è scritto a destra sia uguale ciò che è scritto a sinistra

[burm87]

Esatto, applichi le formule di duplicazione quando l'argomento è $2alpha$ e quando invece l'argomento è $3alpha$ lo scrivi come $alpha+2alpha$ ed utilizzi la formula di addizione.

[simone.montanari.92]

quindi la prima parte sarebbe
$ (sinalpha+2sinalphacosalpha+sinalpha+2sinalphacosalpha)/(cosalpha+cos^2alpha-sin^2alpha+cosalpha-sin^2alpha) $
?

[burm87]

Mmmmm no, la parte del $sin2alpha$ e $cos2alpha$ va bene. Ma poi ricorda che $sin3alpha=sin(alpha+2alpha)$ che usando la formula di addizione diventa $sinalphacos2alpha+cosalphasin2alpha$ sulla quale applichi la duplicazione sulle funzioni che la richiedono.
Lo stesso discorso vale per il $cos3alpha=cos(alpha+2alpha)$ per il quale dovrai usare l'apposita formula di addizione.

[simone.montanari.92]

ok
e poi si usano le formule di duplicazione dove possibile

comunque viene fuori una cosa lunghissima -.-

[simone.montanari.92]

le ho spiegato quello che mi hai detto
ora credo dovrebbe riuscire a farla
comunque mi ha fatto vedere le formule di prostaferesi...si possono usare in questo caso?

[burm87]

Si, di sicuro è una cosa lunga e noiosa. Per le formule di prostaferesi non ne vedo l'utilità sinceramente.

[giammaria2]

E invece proprio le formule di prostaferesi sono il metodo più rapido, purché si abbia l'avvertenza di cambiare l'ordine degli addendi. Il primo membro diventa

$(sin3alpha+sinalpha+sin2alpha)/(cos3alpha+cosalpha+cos2alpha)=(2sin2alphacosalpha +sin2alpha )/(2cos2alpha cosalpha +cos2alpha )=(sin2alpha (2cosalpha +1))/(cos2alpha (2cosalpha +1))=tg2alpha $

Calcoli analoghi a secondo membro.

[simone.montanari.92]

ah ok, allora glielo dico subito, anche se proverà domani

grazie mille