Geomtria analitica

[alby3341]

Ciao a tutti,
Sono dati i punti $A(3;-2), B(9;4) C(2,3)$
Trovare le coordinate di $P$ sapendo che divide internamente il segmento AB in modo che $AP = 1/2 PB$
Determinare quindi l'equazione della retta CP.


Questo è il testo del problema (non ho la soluzione)
Scrivo quello che ho pensato:
Allora trovo la distanza di AB che mi risulta $sqrt72$ $->$ $6sqrt2$
da ciò mi risulta che $AP = 2sqrt2$ e $PB = 4sqrt2$
una volta che sono arrivato a questo punto? Mi è servito a QUALCOSA? COme potrei fare in alternativa?
La mia richiesta è solo ritrovare il punto P una volta trovato .. almeno la retta la so ricavare

Grazie$1000$ in anticipo!

[Nicole931]

sul tuo libro, dalla parte della teoria, ci dovrebbe essere una parte che riguarda proprio il tuo caso
il rapporto tra AP e AB è $1/3$ , cioè $(AP)/(AB)=k$ con $0 allora si dimostra, tramite il teorema di Talete (analogamente a quanto fatto per il punto medio di un segmento) che le coordinate del punto P sono:
$x_P=x_A+k(x_B-x_A)$ , $y_P=y_A+k(y_B-y_A)$

[alby3341]

Grazie mille, controllerò di nuovo la teoria.
Grazie ancora ci stavo perdendo la testa.
Alby

[Nicole931]

Prego, e buono studio!

[redlex91-votailprof]

Ma senza andare a cercare formule sul libro il modo più banale che mi è venuto in mente è:

${(AP=1/2PB),(AP+PB=AB rArr 3/2PB=AB):}
${(x^2+y^2-2x+8y-15=0),(x^2+y^2-18x-8y+65=0):} rArr {(x=5),(y=0):} rArr P(5;0)

O ancora esprimendo le coordinate di P sapendo che sta sulla retta AB:

$r_(AB):y=x-5 rArr P(k;k-5)$ con $3
$3/2PB=AB rArr 3/2sqrt((k-9)^2+(k-5-4)^2)=6sqrt(2)
$1/2sqrt(2(k-9)^2)=2sqrt(2)
$sqrt(2)/2|k-9|=2sqrt(2)
$k-9=+-4
$k=13$ fuori limitazione
$k=5$ accettabile $rArr P(5;0)
Credo poi che gli insegnanti non siano molto inclini a lasciare usare agli studenti formule che non hanno spiegato.

P.S.: di sicuro esistono altre risoluzioni molto più belle delle mie.