Geometria solida

[cinzclock]

ciao non so proprio come risolvere questo problema.....

dimostrare che fra tutti i cilindri di area fissata,quello di volume massimo è equilatero

[Sk_Anonymous]

L'area del cilindro è: $2pir^2\ +\ 2pirh$, mentre il volume è $pir^2*h$; perché sia massimo il volume a parità di area totale, applichiamo il terorema di Rolle alla funzione AREA nella quale compare come variabile il raggio $r$:
$f(r)\ =\ 2pir^2\ +\ 2pirh$, la cui derivata è:
$f'(r)\ =\ 4pir\ +\ 2pih\ = 2pi*(2r+h)$; perché tale funzione si annulli dovrà essere $2r\ +\ h\ =\ 0$, dalla quale si ottiene $2r = |h|$.
Per questo valore di h si ricava che il volume massimo di un cilindro, a parità di area totale, è quello di un cilindro che ha l'altezza uguale al diametro, ovvero un cilindro equilatero. Il volume é:
$pir^2*h\ =\ pi*r^2*2*r\ = 2*pi*r^3$. Nota che in questo caso, la superficie totale del cilindro risulta: $"Area superficie totale"\ = 2pir^2+2pir(2r)\ =\ 6pir^2$ ed è una volta e mezzo la superficie della sfera inscritta.

[MaMo2]

"aledella":ciao non so proprio come risolvere questo problema.....

dimostrare che fra tutti i cilindri di area fissata,quello di volume massimo è equilatero

Devi esprimere il volume del cilindro in funzione del raggio o dell'altezza.
Dalla formula dell'area totale puoi ricavare l'altezza:

$h=A_t/(2pi*r)-r$

Il volume del cilindro perciò diventa:

$V=pi*r^2*h=pi*r^2*(A_t/(2pi*r)-r)=(A_t*r)/2-pi*r^3$

Questa formula esprime il volume in funzione del raggio del cilindro (essendo $A_t$ = costante) per cui derivando rispetto a r ....