Geometria solida

[nato_pigro1]

Una piramide ha per base un quadrato $ABCD$ di lato 7 cm. Anche l'altezza $VH$ della piramide è lunga 7 cm e il suo piede $H$ è il punto medio del lato $AB$. Condurre per la retta AB il piano $alpha$ che formi con il piano della base della piramide un angolo $phi$ tale che $cosphi=3/5$ e indicare con $EF$ la corda che il piano $alpha$ intercetta sulla faccia $VCD$ della piramide.
a) Spiegare perchè il quadrilatero convesso $ABEF$ è inscrivibile in una circonferenza $gamma$
b) Tale quadrilatero è anche circoscrivibile ad una circonferenza?
c) Calcolare i volumi delle due parti in cui la piramide data è divisa dal piano $alpha$
d) Dopo aver riferito il piano $alpha$ a un conveniente sistema di assi cartesiani ($Oxy$), determinare l'equazione della circonferenza $gamma$.

grazie... anche se non li risolvete tutti fatene alcuni, tanto per avere conferma su alcuni e illuminarmi su altri...

[codino75]

...ma bisogna risolverlo per mezzo della geometria anlitica?

alex

[nato_pigro1]

direi di no... a parte l'ultimo...

[codino75]

per la prima mi verrebbe da dire... perche' e' simmetrico (cioe' e' un trapezio).
e quindi....(bho, ma non dovrebbe essere difficile dimostrare che qlunque trapezio e' incrivibile in una circo)

[codino75]

forse ho una mezza idea su come trovare l'altezza della piramide abefv

[nato_pigro1]

"codino75":forse ho una mezza idea su come trovare l'altezza della piramide abefv

bella cosa... fammi sapere... io non ho idea...

a dimostrare che è un trapezio iscoscele devi giustificare che EF è parallelo ad AB, e su questo non ho le idee ben chiare... e poi devi anche dire che AE = BF che sono segmenti "storti" in più non si conoscono angoli di riferimento...

[codino75]

data la simmetria della piramide di partenza (rispetto al piano 'verticale' che divide la base in 2 rettangoli), anche un taglio con un piano perpendicolare al piano di simmetria non incide sulla simmetria
non mi sembra difficile dimostrare che abef e' un trapezio.

per trovare l'altezza della piramide abefv farei: 7 * 3/5 in quanto 3/5 dovrebbe essere il seno di (90-'fi')

[Sk_Anonymous]

Sia K' la proiezione ortogonale di H su CD.E' chiaro che la piramide e' simmetrica
rispetto al piano VHK' e quindi il quadrilatero ABEF risulta essere un trapezio isoscele
in quanto simmetrico rispetto alla retta HK ( intersezione di VHK' col piano $alpha$).
Dal triangolo HKK' si ricava:
$HK=(7sin45°)/(sin(45°+phi))=5,KK'=(7sinphi)/(sin(45°+phi))=4sqrt2$
Inoltre $VK'=VHsqrt2=7sqrt2,VK=7sqrt2-4sqrt2=3sqrt2,VL=VHcosphi=(21)/5$
Pertanto:
$EF:CD=VK:VK'->EF=3$
A questo punto si ha tutto per rispondere ai vari quesiti.Nel caso del problema di
analitica si puo' scegliere ad esempio $A(0,0),B(7,0),E(5,5)$
karl