Geometria, problema sugli angoli triangolo

[virgith]

sto cercando di risolvere questo problema, ma proprio non ne esco
ho provato a trovare l'angolo ABC come differenza di ABD e CBD espressi in D e poi trovare BAC=BCA come differenza di (180 - ABC)/2 , sempre ovviamente espresso in D, ma poi, come ne esco ?

Grazie mille a chi districa la matassa

[Zero87]

Ciao!
Il problema non credo sia difficile ma laborioso e ricco di nozioni che occorre sapere sui triangoli e sugli angoli. Poi c'è da metterle tutte a sistema.

Il triangolo ABC è isoscele come indicato nel disegno, quindi
angolo BAC = angolo BCA
altre relazioni più "nascoste" sono:
- angolo BCA + angolo BCD = 180° poiché ACD essendo un segmento è tale che l'angolo ACD è piatto;
- gli angoli interni di ABC hanno 180° come somma (essendo un triangolo);
- gli angoli interni di BCD hanno 180° come somma (idem sopra);
- gli angoli interni di ABC hanno 180° come somma (ormai si è capito no).

Vedi, potrei lasciarti tutta questa carne al fuoco e dirti di provare, ma faccio un altro passo avanti, identifichiamo gli angoli.

angolo BAC =

[math] x [/math]

angolo ACB =

[math] x [/math]

angolo ABC =

[math] 180-2x [/math]

(occhio, 2x, non x)

angolo BCD =

[math] 180-x [/math]

(ho usato una di quelle sopra, non puoi riusarla per il sistema!)
angolo CBD =

[math] y [/math]

(da cui angolo ABD = angolo ABC + angolo CBD =

[math] 180-2x+y [/math]

)
angolo CDB = angolo ADB = 180-angolo BAD - angolo ABC =

[math] 180-x-(180-2x+y) = x-y [/math]

Prendendo 2 relazioni su 3 sopra (una è già stata usata viene un 0=0 se la riusi) hai un sistema di 2 equazioni in 2 incognite.

In realtà ti ho detto tanto del problema, potrei dire un buon 70% del totale, però ho voluto farlo perché così in problemi simili puoi vedere i ragionamenti da fare per identificare oggetti, creare relazioni e sistemi per risolvere. Si tratta alla fine di utilizzare tutte quelle nozioni che si conoscono sui triangoli (somma degli angoli interni = 180 gradi... cose così, no?).

Una buona norma con le incognite prevede di usarne il minor numero possibile perché ti ricordo che per avere una soluzione devi avere un numero di equazioni (quindi relazioni per tali incognite) pari al numero di incognite stesse. Per questo mi sono impuntato sull'usare tutte le proprietà del mondo e limitare le incognite...

[danyper]

Ciao virgith
osservando la foto vedo che il problema, come quello sopra, richiede la scrittura di un sistema di equazioni
Cosa dobbiamo calcolare? 3 angoli
Questo significa che abbiamo tre incognite, ci servono perciò tre equazioni.

Ci sono fornite due espressioni per l’angolo

[math]\widehat{D} [/math]

in funzione di una parte di

[math]\widehat{B}[/math]

e di tutto l’angolo

[math]\widehat{B}[/math]

.
Essendo:

[math]\widehat{B}= A\widehat{B}C + C\widehat{B}D [/math]

, indico con x ed y queste due parti, ovvero:

[math]A\widehat{B}C=x[/math]

[math]C\widehat{B}D=y[/math]

Da cui:

[math]\widehat{B}=x+y[/math]

Indico con z l’angolo in D e riscrivo le due relazioni fornite nella traccia:

[math]\widehat{D}= \frac{5}{2}C\widehat{B}D-10[/math]

(1)

[math]z= \frac{5}{2}y -10[/math]

e

[math]\widehat{D}= \frac{1}{4}A\widehat{B}D+20[/math]

(2)

[math]z= \frac{1}{4}(x+y) +20[/math]

Abbiamo scritto due equazioni in tre incognite, ne serve ancora una !
In un triangolo la somma degli angoli interni è 180°.
Nel triangolo ABD, abbiamo:

(3)

[math]\widehat{A}+x+y+z=180[/math]

L’angolo in A, a sua volta, è angolo alla base di un triangolo isoscele quindi, come avevi scritto anche tu:

[math]\widehat{A}=\frac{180-x}{2}[/math]

Riscriviamo allora la terza equazione:

(3)

[math] \frac{180-x}{2}+x+y+z=180[/math]

Abbiamo costruito il sistema risolvente:

[math] \begin{cases}z= \frac{5}{2}y -10\\z= \frac{1}{4}(x+y)
+20\\\frac{180-x}{2}+x+y+z=180 \end{cases} [/math]

Lascio a te i calcoli.

^_^